В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше одного из катетов на 1 см, а второй катет равен 9 см. Вычислите угол, лежащий против меньшего катета.

Задача: в прямоугольном треугольнике гипотенуза на 1 см больше одного из катетов, а другой катет равен 9 см. Найдите угол, против меньшего катета.

Немного разберёмся и рассмотрим два варианта, потому что условие допускает两 конфигурации.

Обозначения: пусть катеты будут a и b, гипотенуза c. Известно, что один из катетов равен 9 см, а c на 1 см больше какого-то катета.

Вариант 1: гипотенуза на 1 см больше самого длинного из катетов, то есть c = 9 + 1 = 10.

• По Пифагору: a^2 + 9^2 = 10^2 → a^2 = 100 − 81 = 19 → a = sqrt(19) ≈ 4,359 см.
• Меньший катет — a = sqrt(19). Угол против него имеет синус, равный отношению противоположной стороны к гипотенузе: sin(φ) = a/c = sqrt(19)/10.
• Значение φ: φ ≈ arcsin(sqrt(19)/10) ≈ arcsin(0.4359) ≈ 25,8°.

Вариант 2: гипотенуза на 1 см больше другого, неизвестного катета x, то есть c = x + 1, а другой известный катет равен 9.

• По Пифагору: 9^2 + x^2 = (x+1)^2 → 81 + x^2 = x^2 + 2x + 1 → 2x = 80 → x = 40, а c = x + 1 = 41.
• Здесь меньший катет — 9. Угол против него имеет синус: sin(ψ) = 9/41.
• Значение ψ: ψ ≈ arcsin(9/41) ≈ 12,7°.

Итак, существуют две допустимые конфигурации, дающие два значения угла против меньшего катета:

• Вариант 1: примерно 25,8°.
• Вариант 2: примерно 12,7°.

Если нужно выбрать один ответ, можно заметить, что в задаче не указано, какой именно катет меньше другого; оба варианта удовлетворяют условиям. Наглядно: 9-√19-10 и 9-40-41 — оба треугольники с гипотенузой, на 1 см длиннее какого-то катета.