Log5 4 * log5 100 - log5 20/log20 5

Задача: log_5 4 * log_5 100 - log_5 20 / log_20 5

Пояснение по шагам:

1. Найдём log_5 100:

• 100 = 4 · 25 = 4 · 5^2
• log_5 100 = log_5 4 + log_5 5^2 = log_5 4 + 2

Тогда первый множитель умножения можно записать как: log_5 4 · log_5 100 = log_5 4 · (log_5 4 + 2) = (log_5 4)^2 + 2 log_5 4.

2. Упростим второй коэффициент: -log_5 20 / log_20 5. Заметим, что log_20 5 = 1 / log_5 20 (свойство логарифмов: log_a b = 1 / log_b a). Следовательно: log_5 20 / log_20 5 = log_5 20 · log_5 20 = (log_5 20)^2.

И знак перед этим членом стоит минус, значит второй член выражения равен -(log_5 20)^2.

3. Связь log_5 20 с log_5 4: log_5 20 = log_5 (4 · 5) = log_5 4 + log_5 5 = log_5 4 + 1. Обозначим x = log_5 4. Тогда log_5 20 = x + 1.

4. Подстановка: Выражение = (log_5 4)^2 + 2 log_5 4 - (log_5 20)^2 = x^2 + 2x - (x + 1)^2 = x^2 + 2x - (x^2 + 2x + 1) = -1.

Ответ: -1

Проверка (быстрый численный тест): можно выразить через натуральный лог и увидеть, что результат точно равен -1.