Задача: в единственном кубе с вершинами a, b, c, d, a1, b1, c1, d1 найти угол между прямой a1c и плоскостью av1d (то есть плоскостью через точки a, b1, d1).
Понимание и решение (пошагово):
1) Присвоим координаты вершинам куба (стандартная ориентация):
- a = (0, 0, 0)
- b = (1, 0, 0)
- c = (1, 1, 0)
- d = (0, 1, 0)
- a1 = (0, 0, 1)
- b1 = (1, 0, 1)
- c1 = (1, 1, 1)
- d1 = (0, 1, 1)
2) Направляющий вектор прямой a1c:
- v = c − a1 = (1, 1, 0) − (0, 0, 1) = (1, 1, −1).
3) Плоскость av1d задаётся тремя точками: a, b1, d1.
- Векторы в плоскости:
AB1 = b1 − a = (1, 0, 1)
AD1 = d1 − a = (0, 1, 1)
- Нормаль к плоскости av1d находится как векторное произведение AB1 × AD1:
n = AB1 × AD1 = (1, 0, 1) × (0, 1, 1) = (−1, −1, 1).
4) Угол между прямой и плоскостью связан с вектором нормали n:
- Угол θ между прямой и плоскостью удовлетворяет sin θ = |v · n| / (|v| |n|).
- Вычисляем скаляры:
v · n = (1, 1, −1) · (−1, −1, 1) = −1 − 1 − 1 = −3 → |v · n| = 3
|v| = √(1^2 + 1^2 + (−1)^2) = √3
|n| = √((−1)^2 + (−1)^2 + 1^2) = √3
- Получаем: sin θ = 3 / (√3 · √3) = 3 / 3 = 1 → θ = 90°.
5) Примечание по упрощению:
- Заметим, что v = (1, 1, −1) = −(−1, −1, 1) = −n. То есть направление прямой совпадает с нормалью к плоскости (модули совпадают до знака), следовательно прямая перпендикулярна этой плоскости. Это и означает угол 90°.
Ответ: угол между прямой a1c и плоскостью av1d равен 90 градусов.
