5х+12) (х²-1)=3х² + 3х

Задача: (5x + 12)(x^2 − 1) = 3x^2 + 3x Пошаговое решение: 1) Раскроем левую часть: (5x + 12)(x^2 − 1) = (5x + 12)x^2 − (5x + 12) = 5x^3 + 12x^2 − 5x − 12 2) Перенесём правую часть в левую, чтобы получить многочлен, равный нулю: 5x^3 + 12x^2 − 5x − 12 − (3x^2 + 3x) = 0 5x^3 + 9x^2 − 8x − 12 = 0 3) Найдём корни тонким способом. Пробуем рациональные корни (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 и их дроби на 5). Проверим x = −1: 5(−1)^3 + 9(−1)^2 − 8(−1) − 12 = −5 + 9 + 8 − 12 = 0 Получаем корень x = −1, значит многочлен делится на (x + 1). 4) Разделим 5x^3 + 9x^2 − 8x − 12 на (x + 1) (методом синтетического деления): Коэффициенты: 5, 9, −8, −12 После деления получаем квадратичный остаток: 5x^2 + 4x − 12 5) Теперь разложим квадратный трёхчлен: 5x^2 + 4x − 12 = (5x − 6)(x + 2) 6) Полное разложение исходного многочлена: 5x^3 + 9x^2 − 8x − 12 = (x + 1)(5x − 6)(x + 2) 7) Найдём корни: x = −1, x = 6/5, x = −2 Ответ: x ∈ {−2, −1, 6/5} Проверка (быстрые подстановки): - x = −1: левая часть = (5(−1) + 12)((−1)^2 − 1) = 7 · 0 = 0; правая часть = 3(1) + 3(−1) = 0. - x = −2: левая = (5(−2) + 12)((4) − 1) = 2 · 3 = 6; правая = 3·4 + 3(−2) = 12 − 6 = 6. - x = 6/5: левая = (5·(6/5) + 12)((36/25) − 1) = (6 + 12)(11/25) = 18 · 11/25 = 198/25 = 7.92; правая = 3·(36/25) + 3·(6/5) = 108/25 + 18/5 = 108/25 + 90/25 = 198/25 = 7.92.