выберите целочисленные выражения 1.2/x 2.x+5/(2x) 3.x/2 4. 2

Задача: выбрать выражения, которые принимают целые значения при любом целочисленном x (т.е. целочисленные для всех целых x). Рассмотрим каждое выражение по отдельности и укажем область допустимых значений и ситуацию с целостностью.

1. 2/x (при x ≠ 0)

• Чтобы результат был целым для всех целых x, это невозможно, так как для произвольного целого x 2/x не обязательно цело (например, x = 3 даёт 2/3).
• Оно целое только при конкретных x, например x ∈ {±1, ±2}, но не для всех x.

2. x + 5/(2x)

• 5/(2x) нецелое для большинства целых x и вообще невозможно получить целое сложение, чтобы сумма стала целым числом для всех целых x (при любом x 2x делит 5 невозможно, если x целое). Следовательно, выражение не целое для всех x.

3. x/2

• Значение целое только когда x чётно. При нечетном x результат не целое.
• Следовательно, не является целым для всех целых x.

4. 2

• Константа. Для любого целого x значение равно 2, целое.

Ответ: единственным выражением, которое является целым для всех целых x, является 4) 2.

Дополнительная заметка (если трактовку нужно расширить):

• 1. 2/x: целое только для отдельных x (например x ∈ {±1, ±2}).
• 2. x + 5/(2x): никогда не даёт целого для всех целых x (и при x = 0 выражение не определено).
• 3. x/2: целое только для чётных x.
• 4. 2: целое для любого x.