254. Через вершину С квадрата ABCD проведена прямая MС, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что плоскости MAD и MDC перпендикулярны.
Задача: Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная его плоскости. Докажите, что плоскости MAD и MDC перпендикулярны.
Целесообразно решить с помощью координатной геометрии.
1) Установка координат
- Разместим квадрат ABCD в плоскости z = 0 так, чтобы:
A = (0, 0, 0)
B = (1, 0, 0)
C = (1, 1, 0)
D = (0, 1, 0)
- Так как CM перпендикулярна плоскости квадрата, прямая CM направлена по оси z. Значит точка M имеет те же x,y, что и C: M = (1, 1, h), где h ≠ 0 (высота над плоскостью).
2) Векторы в плоскостях MAD и MDC
- Вектор MA: A − M = (0−1, 0−1, 0−h) = (−1, −1, −h)
- Вектор MD: D − M = (0−1, 1−1, 0−h) = (−1, 0, −h)
- Вектор MC: C − M = (1−1, 1−1, 0−h) = (0, 0, −h)
3) Нормали к плоскостям
- Нормаль к плоскости MAD можно найти как векторное произведение MA × MD:
MA × MD = det | i j k |
|−1 −1 −h |
|−1 0 −h |
Рассчитаем:
i-компонента: (−1)(−h) − (−h)(0) = h
j-компонента: −[(−1)(−h) − (−h)(−1)] = −[h − h] = 0
k-компонента: (−1)(0) − (−1)(−1) = 0 − 1 = −1
Значит n1 = (h, 0, −1).
- Нормаль к плоскости MDC можно взять как MD × MC:
MD × MC = det | i j k |
|−1 0 −h |
| 0 0 −h |
Рассчитаем:
i-компонента: 0·(−h) − (−h)·0 = 0
j-компонента: −[(−1)(−h) − (−h)·0] = −[h − 0] = −h
k-компонента: (−1)·0 − 0·0 = 0
Значит n2 = (0, −h, 0).
4) Перпендикулярность плоскостей
- Диедральный угол между двумя плоскостями MAD и MDC равен углу между их нормалями.
- Проверим скалярное произведение n1 · n2:
n1 · n2 = (h, 0, −1) · (0, −h, 0) = h·0 + 0·(−h) + (−1)·0 = 0.
- Так как нормали перпендикулярны, плоскости MAD и MDC перпендикулярны.
Заключение:
Поскольку CM перпендикулярна плоскости квадрата, точка M имеет координаты (1, 1, h). Для любых h ≠ 0 нормали к плоскостям MAD и MDC оказались перпендикулярны, следовательно, плоскости MAD и MDC перпендикулярны.
