В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1: СА1 = 11 см, C1D1 = 2 см, А1D1 = 6 см. Найти длину ребра СС1 и синус угла между диагональю СА1 и плоскостью ABCD.

Решение задача на геометрию прямоугольного параллелепипеда.

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCD A1B1C1D1. СА1 = 11 см, C1D1 = 2 см, A1D1 = 6 см. Найти CC1 и sin угла между диагональю CA1 и плоскостью ABCD.

1. Определение размеров основания

• C1D1 является верхней стороной, параллельной CD, поэтому CD = C1D1 = 2 см.
• A1D1 является верхней стороной, параллельной AD, поэтому AD = A1D1 = 6 см.
• В основании ABCD стороны пары противоположных равны: AB = CD = 2 и BC = AD = 6.
• Значит основание ABCD — прямоугольник со сторонами 2 и 6, высота параллелепипеда (расстояние между базами) обозначим как h = AA1.

2. Найдём высоту h по данному диагонали CA1 Поставим координаты: A = (0,0,0), B = (2,0,0), D = (0,6,0), C = (2,6,0), A1 = (0,0,h), C1 = (2,6,h).

Вектор CA1 = A1 − C = (0−2, 0−6, h−0) = (−2, −6, h). Его длина равна CA1 = 11, то есть |CA1|^2 = (−2)^2 + (−6)^2 + h^2 = 4 + 36 + h^2 = 40 + h^2 = 11^2 = 121. Отсюда h^2 = 121 − 40 = 81, значит h = 9 cm.

Следовательно, CC1 — это высота параллелепипеда, поэтому CC1 = h = 9 см.

3. sin угла между диагональю CA1 и плоскостью ABCD Плоскость ABCD имеет нормаль n = (0,0,1) (плоскость z = 0). Вектор диагонали CA1: v = A1 − C = (−2, −6, 9). С углом φ между линией и плоскостью связана формула: sin φ = |v · n| / (|v| · |n|).

Вычислим: v · n = (−2, −6, 9) · (0, 0, 1) = 9, |v| = |CA1| = 11, |n| = 1.

Тогда sin φ = |9| / (11 · 1) = 9/11.

Ответы:

• CC1 = 9 см.
• sin угла между диагональю CA1 и плоскостью ABCD = 9/11 (примерно 0.818; угол ≈ 54.9°).