х²+6х-1=0

Задача: x^2 + 6x - 1 = 0

Цель: понять решение подробно и понятно.

Подходы к решению (есть несколько способов, выберем наиболее понятные)

1. Решение через формулу квадратного уравнения (общий метод)

• Коэффициенты: a = 1, b = 6, c = -1.
• Дискриминант: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4·1·(-1) = 36 + 4 = 40.
• Корни по формуле: x = [-b ± sqrt(D)] / (2a) = [-6 ± sqrt(40)] / 2.
• Упрощение: sqrt(40) = 2√10, поэтому x = [-6 ± 2√10] / 2 = -3 ± √10.
• Итог: x1 = -3 + √10, x2 = -3 - √10.
• Приближённые значения (для ориентира): √10 ≈ 3.1623, поэтому x1 ≈ -3 + 3.1623 ≈ 0.1623, x2 ≈ -3 - 3.1623 ≈ -6.1623.
• Проверка: подставим обратно в уравнение: (0.1623)^2 + 6(0.1623) - 1 ≈ 0, и (-6.1623)^2 + 6(-6.1623) - 1 ≈ 0. Оба корня корректны.

2. Решение через дополение квадрата (ещё один наглядный способ)

• Перепишем: x^2 + 6x = 1.
• Чтобы слева получилась квадрат, добавим и вычтем (6/2)^2 = 9: x^2 + 6x + 9 = 1 + 9.
• Это даёт (x + 3)^2 = 10.
• Из этого: x + 3 = ±√10, следовательно x = -3 ± √10.
• Итог такие же: x1 = -3 + √10, x2 = -3 - √10.

3. Небольшой комментарий о том, почему дискриминант > 0

• D = 40 > 0 значит две разные вещественные корня. Это видно и в виде факторов: уравнение не может быть сведено к простому целочисленному разложению на множители без иррациональных коэффициентов, поэтому корни выражаются через √D.

4. Краткая проверка и обобщение

• Уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0 с a ≠ 0. В нашем случае a=1, b=6, c=-1.
• Корни точные: -3 ± √10.
• Приведённые численные значения дают представление о месте корней на числовой прямой: один близко к 0.16, другой около -6.16.

Важно помнить:

• Ни одно из действий не нарушает условия задачи: мы нашли точные корни и их приближённые значения.
• Этот пример хорошо иллюстрирует два стандартных метода решения квадратных уравнений: через формулу или через дополнение квадрата.

Если хочешь, могу показать ещё графическое представление или проверить решение подстановкой в исходное уравнение.