Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

Задача: две стороны отличаются на 3 см, угол между ними 60°, третья сторона равна 7 см. Найдём периметр.

1. Обозначим стороны:

• пусть более длинная из двух близких сторон будет b, меньшая — a, тогда a = b − 3.
• третья сторона (между ними), обозначим c, дано: c = 7 см.
• угол между a и b равен 60°.

2. Применим теорему косинусов для стороны c: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos(60°).

Так как cos(60°) = 1/2, имеем: c^2 = a^2 + b^2 − ab.

3. Подставим a = b − 3: a^2 = (b − 3)^2 = b^2 − 6b + 9, ab = b(b − 3) = b^2 − 3b.

Тогда c^2 = (b^2 − 6b + 9) + b^2 − (b^2 − 3b) = b^2 − 3b + 9.

4. Так как c = 7, получаем уравнение: 49 = b^2 − 3b + 9 b^2 − 3b − 40 = 0.

Решая квадратное уравнение: Δ = 9 + 160 = 169, sqrt Δ = 13. b = (3 ± 13)/2 → b = 8 или b = −5. Отрицательное значение не подходит, значит b = 8 см. Тогда a = b − 3 = 5 см.

5. Периметр треугольника: P = a + b + c = 5 + 8 + 7 = 20 см.

Проверка: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos60° = 25 + 64 − 2·5·8·(1/2) = 89 − 40 = 49, c = 7 см. Всё согласовано.

Ответ: периметр треугольника равен 20 см.