Одна сторона треугольника на 3 см больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.
Дано: две стороны треугольника, образующие угол 60°, отличаются на 3 см. Пусть меньшая сторона = b, большая сторона = a = b + 3. Третья сторона равна c = 7 см (она противоположна углу между a и b).
Применим закон cosine для угла 60°: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(60°). cos(60°) = 1/2, значит 49 = a^2 + b^2 - 2ab(1/2) = a^2 + b^2 - ab.
Подставим a = b + 3: a^2 = (b + 3)^2 = b^2 + 6b + 9. Тогда: 49 = (b^2 + 6b + 9) + b^2 - b(b + 3) = 2b^2 + 6b + 9 - b^2 - 3b = b^2 + 3b + 9.
Решим квадратное уравнение: b^2 + 3b + 9 = 49 → b^2 + 3b - 40 = 0. Дискриминант Δ = 3^2 - 4·1·(-40) = 9 + 160 = 169, корни: b = (-3 ± 13)/2. Положительный корень: b = ( -3 + 13 ) / 2 = 5.
Найдём остальные стороны: большая сторона a = b + 3 = 8 см, третья сторона c = 7 см.
Периметр: P = a + b + c = 8 + 5 + 7 = 20 см.
Проверка: c^2 = a^2 + b^2 - ab → 49 = 64 + 25 - 40 = 49, правило соблюдается.
Ответ: периметр треугольника 20 см.
