Помещение освещено 16 лампами. Известно, что вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,3. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того,…

Задача относится к биномиальному распределению: каждый ламп имеет вероятность перегорания p = 0.3, независимо от других, всего n = 16 ламп. Пусть X — число перегоревших ламп за год. X ~ Binomial(n=16, p=0.3). Нужно найти P(X ≤ 2).

Пошаговое решение:

1. Вероятность не перегорела ни одна лампа:

• P(X = 0) = C(16,0) (0.3)^0 (0.7)^{16} = 0.7^{16} ≈ 0.003323.

2. Вероятность перегореть ровно одна лампа:

• P(X = 1) = C(16,1) (0.3)^1 (0.7)^{15} = 16 × 0.3 × 0.7^{15}
• 0.7^{15} ≈ 0.00474756, поэтому P(X=1) ≈ 16 × 0.3 × 0.00474756 ≈ 0.022788.

3. Вероятность перегореть ровно две лампы:

• P(X = 2) = C(16,2) (0.3)^2 (0.7)^{14} = 120 × 0.09 × 0.7^{14}
• 0.7^{14} ≈ 0.00678223, поэтому P(X=2) ≈ 120 × 0.09 × 0.00678223 ≈ 0.073248.

4. Вероятность не более двух перегоревших:

• P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) ≈ 0.003323 + 0.022788 + 0.073248 ≈ 0.099360.

Ответ, округляя до тысячных: 0.099

Итог: вероятность того, что к концу года перегорит не более двух ламп, примерно 0.099.