Что такое отношения?

Отношения в математике можно объяснить так: - Что это такое: отношения описывают, как элементы одного множества связываются с элементами другого множества (или того же самого множества). Формально отношение R между множествами A и B — это подмножество декартова произведения A × B. То есть это набор упорядоченных пар (a, b), где a из A, a связан c b из B. - Простыми словами: отношение — это правила, по которым мы сопоставляем некоторым элементам какие-либо другие элементы. Например: «меньше чем», «быть родителем», «быть ближайшим соседом по номеру» и т. п. - Как записывают: если мы говорим про отношение на одном множестве A (то есть между элементами A), пишут R ⊆ A × A и пишут aRb, если пара (a, b) принадлежит отношению R. Примеры - Пример 1 (отношение на одном множестве): возьмем A = {1, 2, 3, 4} и определим отношение R как «a меньше чем b». Тогда R состоит из пар: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4). Здесь можно сказать: 1 связан с 2, 3 и 4; 2 связан с 3 и 4 и т. д. - Пример 2 (отношение между двумя множествами): A = B = {1, 2, 3}. Пусть R = { (1,2), (2,3), (3,1) }. Это отношение между элементами этих множеств: 1 связан с 2, 2 — с 3, 3 — с 1. - Пример 3 (отдельная пара): возьмем A = {1, 2, 3} и отношение R = { (1,1), (2,2), (3,3) }. Это просто говорит: каждый элемент связан сам с собой. Такое отношение называется рефлексивным. Домен и образ - Домен отношения R ⊆ A × A — это множество элементов a из A, у которых существует какое-то b с таким, что (a, b) ∈ R. - Образ (или календарь значений) — это множество элементов b из A, для которых существует хоть одно a с (a, b) ∈ R. Пример: пусть A = {1, 2, 3}, R = { (1,2), (2,3) }. Домен R = {1, 2}. Образ R = {2, 3}. Отношение и функция - Функция — это особый вид отношения, при котором каждому элементу из домена ставится в соответствие ровно один элемент из кодомножества. Иными словами, для каждого a существует ровно одно b с (a, b) ∈ R. - В общем отношении может быть несколько разных b для одного a (или вообще ни одного). Поэтому не каждое отношение — функция. Свойства отношения (необязательные для начального уровня, но полезно знать) - Рефлексивное: для каждого a из A пара (a, a) лежит в R. - Симметричное: если (a, b) ∈ R, то и (b, a) ∈ R. - Транзитивное: если (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R, то и (a, c) ∈ R. Примеры свойств на простых наборах - R = { (1,1), (2,2), (3,3) } на A = {1,2,3} — рефлексивное. - R = { (1,2), (2,1) } на A = {1,2} — симметричное. - R = { (1,2), (2,3), (1,3) } на A = {1,2,3} — транзитивное (и одинаково можно проверить). Как можно изображать - Таблично: записать все пары (a, b) в одну таблицу. - Графом: на узлах написать элементы множества, а между узлами провести направленные стрелки согласно парам (a, b). Зачем это нужно - Отношения помогают объяснять связи между элементами: сравнение значений, порядок, принадлежность, зависимость и т. д. - Разобравшись в отношениях, легче понять такие понятия, как функции, графы и структуры множеств. Короткое задание для тренировки - Пример А: A = {1,2,3}, R = { (1,1), (2,3) }. Найти домен и образ R. Является ли R функцией? - Пример Б: На множестве {1,2,3,4} отношение «делится на»: R = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (2,4) }. Какие пары есть, и какие элементы в домене/образе? Если хочешь, могу привести ещё больше примеров или решить конкретную задачу по твоему варианту.