Задача: знаменатель дроби больше её числитель на 3. Пусть числитель = n, знаменатель = d, тогда d = n + 3.
Условие про изменение после добавления: к числителю прибавляем 7, к знаменателю — 5, новая дробь больше исходной на 1/2:
(n + 7) / (d + 5) = n / d + 1/2.
Подставим d = n + 3:
(n + 7) / (n + 8) = n / (n + 3) + 1/2.
Сложим правую часть: n/(n+3) + 1/2 = [2n + (n+3)] / [2(n+3)] = (3n + 3) / [2(n+3)] = 3(n+1) / [2(n+3)].
Итак:
(n + 7) / (n + 8) = 3(n + 1) / [2(n + 3)].
Умножим обе стороны на 2(n+8)(n+3), чтобы избавиться от знаменателей:
2(n + 7)(n + 3) = 3(n + 1)(n + 8).
Раскрывая скобки:
Левая: 2(n^2 + 10n + 21) = 2n^2 + 20n + 42.
Правая: 3(n^2 + 9n + 8) = 3n^2 + 27n + 24.
Перенесём все в одну сторону:
0 = 3n^2 + 27n + 24 − (2n^2 + 20n + 42) = n^2 + 7n − 18.
Разложим квадратное тройство:
n^2 + 7n − 18 = (n + 9)(n − 2) = 0.
Получаем два решения:
- n = 2, тогда d = n + 3 = 5. Исходная дробь: 2/5.
- n = −9, тогда d = n + 3 = −6. Исходная дробь: −9/−6 = 3/2.
Из условий задачи обычно предполагается, что знаменатель положительный, и дpyгие параметры тоже целые, так что приводим к положительному решению:
Оригинальная дробь: 2/5.
Проверка:
- Знаменатель больше числителя на 3: 5 = 2 + 3 ✓
- После прибавления: (2+7)/(5+5) = 9/10.
- Исходная дробь + 1/2: 2/5 + 1/2 = 4/10 + 5/10 = 9/10 ✓
Ответ: исходная дробь равна 2/5. (Дополнительно можно отметить второй математически допустимый вариант −9/−6, который эквивалентен 3/2, но он имеет отрицательные знаменатель и обычно не рассматривается в условиях задачи.)
