В трапеции ABCD основания AD=12 , BC=4 , боковые стороны AB=6 и CD=7 . Докажите, что окружности, построенные на боковых сторонах, как на диаметрах, не пересекаются и расположены вне друг друга.

Цель: понять и получить конструктивное доказательство. Дано трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 4, боковые стороны AB = 6 и CD = 7. Нужно доказать, что окружности, построенные на боковых сторонах как на диаметрах, не пересекаются и лежат отдельно (одна вне другой). Решение по шагам (координатный подход, общий случай, без подстановки конкретных координат): - Пусть AD лежит на оси x, A = (0, 0), D = (12, 0). Так как BC параллельно AD и имеет длину 4, можно разместить B и C на горизонтальной линии y = h так, чтобы BC = 4: B = (t, h), C = (t + 4, h), где t и h неизвестны положительные параметры. - Данные AB = 6 и CD = 7 дают соотношения: AB^2 = t^2 + h^2 = 36, CD^2 = (12 − (t + 4))^2 + h^2 = (8 − t)^2 + h^2 = 49. Эти уравнения подтверждают существование трапеции, но нам не обязательно их решать для дальнейшего вывода. - Окружности, построенные на боковых сторонах как на диаметрах: - центр окружности на AB: середина AB, M1 = ((0 + t)/2, (0 + h)/2) = (t/2, h/2), радиус r1 = AB/2 = 3. - центр окружности на CD: середина CD, M2 = ((t + 4 + 12)/2, (h + 0)/2) = ((t + 16)/2, h/2), радиус r2 = CD/2 = 7/2 = 3.5. - Расстояние между центрами: Y-координаты M1 и M2 равны h/2, поэтому центры лежат на одной горизонтальной прямой. Разность координат X: |x(M2) − x(M1)| = |(t + 16)/2 − t/2| = 16/2 = 8. Следовательно, d(M1, M2) = 8. - Радиусы окружностей: r1 = 3, r2 = 3.5, сумма радиусов R = r1 + r2 = 6.5. - Так как d = 8 > 6.5 = R, окружности не пересекаются и не лежат одна внутри другой; они лежат одной вокруг другой по разнесённой схеме (внешне разделены). Вывод: Окружности, построенные на боковых сторонах AB и CD как на диаметрах, не пересекаются и расположены вне друг друга. Их центры лежат на одной линии параллели оснований трапеции, а расстояние между центрами равно 8, что больше суммы их радиусов (6.5).