Работаем в треугольнике ABC. Обозначим стороны:
- a = BC, b = CA, c = AB
- h = высота треугольника ABC из вершины A на BC (то есть AH = h)
Пусть I — точка пересечения биссектрис углов B и C (инцентр), и прямая l через I параллельна BC. Эта прямая пересекает AB в M и AC в N. Нужно доказать, что MN = BM + CN.
Пусть MN ∥ BC. Тогда треугольники AMN и ABC подобны, и введём t = AM/AB = AN/AC = MN/BC. Тогда:
- AM = t c, BM = AB − AM = c(1 − t)
- AN = t b, CN = AC − AN = b(1 − t)
- MN = t a
Через геометрию у нас есть расстояние от инцетра до основания BC: y_I = r, где r — радиус вписанной окружности. Прямую MN можно рассматривать как прямую, параллельную BC, на расстоянии r от BC, поэтому расстояние от A до MN равно h − r. В итоге отношение подобия даёт следующее: расстояние от MN до BC относительно высоты AH равно r/h, то есть
y_I/h = r/h = a/(a + b + c),
поскольку из формулы площади ΔABC = (1/2) a h = r s, где s = (a + b + c)/2.
Теперь вычислим BM, CN и MN через a, b, c и h, используя полученное отношение y_I/h = a/(a+b+c):
- BM = c(1 − t) и MN = t a, но по соотношению тождеств AM/AB = AN/AC = MN/BC = t, а именно y_I/h = r/h = a/(a+b+c) даёт другую форму выражений через r или через a, h. Выражения удобнее получить через отношение y_I/h:
- BM = AB − AM = AB(1 − t) = c(1 − t)
- CN = AC − AN = b(1 − t)
- MN = a t
и из пропорций MN/BC = t и y_I/h = r/h = a/(a+b+c) следует получить конкретные значения через r/h, но проще считать так: используя y_I/h = a/(a+b+c),
BM + CN = (b + c) (y_I/h) = (b + c) a/(a + b + c),
MN = a (1 − y_I/h) = a (1 − a/(a + b + c)) = a(b + c)/(a + b + c).
Из двух последних выражений получаем одинаковое значение:
MN = BM + CN = a(b + c)/(a + b + c).
Следовательно, через точку пересечения биссектрис B и C проведена прямая parallel BC действительно удовлетворяет MN = BM + CN.
Итог: MN = BM + CN, как и требовалось.
