Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение задачи по шагам Даны: - Расстояние между пристанями A и B: S = 108 км. - Скорость течения реки: c = 3 км/ч. - Плот движется по течению (его скорость относительно воды не указана, обозначим как v) и в неподвижной воде скорость лодки равна v. - Плот отплыл от A к B, через 2 часа за ним отправилась моторная лодка. - Лодка дошла до B, немедленно вернулась в A. К моменту возвращения лодки плот проплыл 51 км. - Плот движется только по течению, значит его скорость относительно земли равна течению: 3 км/ч. Обозначения: - Скорость лодки в неподвижной воде: v (км/ч). - Скорость лодки downstream (A→B): v + c = v + 3. - Скорость лодки upstream (B→A): v − c = v − 3. Пути и времена: - Плот начинает путь в момент t = 0, его скорость downstream = 3 км/ч. - Лодка отправляется через 2 часа, то есть в t = 2. - Время до прибытия лодки в B: T1 = расстояние / скорость downstream = 108 / (v + 3). - Время обратно от B до A: T2 = расстояние / скорость upstream = 108 / (v − 3). - Итого время кругового рейса лодки после отправления: T1 + T2. - К моменту возвращения лодки плот уже прошёл 2 часа под действием течения и затем проплыл ещё T1+T2 часов. За 2 часа плот проплыл 2·3 = 6 км, за оставшееся время плот проплыл дополнительные 3·(T1+T2) км. - По условию, всего плот проплыл 51 км: 6 + 3·(T1+T2) = 51 → 3·(T1+T2) = 45 → T1 + T2 = 15 часов. Следовательно: 108/(v + 3) + 108/(v − 3) = 15. Решение квадратного уравнения: Разделим обе стороны и приведём к единому знаменателю: 108(v − 3) + 108(v + 3) = 15[(v + 3)(v − 3)] 216v = 15(v^2 − 9) 0 = 15v^2 − 216v − 135 Разделим на 3: 5v^2 − 72v − 45 = 0 Дискриминант: D = 72^2 − 4·5·(−45) = 5184 + 900 = 6084, sqrt(D) = 78. Корни: v = [72 ± 78] / (2·5) → v = (72 + 78)/10 = 150/10 = 15 или v = (72 − 78)/10 = −6/10 = −0.6 (отрицательное значит reject). Итак, скорость лодки в неподвижной воде v = 15 км/ч. Проверка: - Скорость downstream: 15 + 3 = 18 км/ч → T1 = 108/18 = 6 ч. - Скорость upstream: 15 − 3 = 12 км/ч → T2 = 108/12 = 9 ч. - T1 + T2 = 15 ч, как и должно. - Плот за 2 ч прошёл 6 км; за 15 ч плот прошёл 45 км; всего 6 + 45 = 51 км. Всё согласуется. Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 15 км/ч.