решить неравенство (2х+1)(х+2)-3х•(х+2)<0

Задача: решить неравенство (2x+1)(x+2) - 3x(x+2) < 0.

Пошаговое решение (уровень 9 класса, подробно, с объяснениями)

1. Факторизация

• Заметим, что оба слагаемых содержат общий множитель (x+2): (2x+1)(x+2) - 3x(x+2) = (x+2)[(2x+1) - 3x].
• Упростим скобки: (2x+1) - 3x = 1 - x.
• Получаем: (x+2)(1 - x) < 0.

2. Упрощение знака (очистка от минуса)

• Выражение можно переписать как -(x+2)(x-1) < 0, поскольку 1 - x = -(x - 1).
• Умножение обеих частей неравенства на -1 меняет знак неравенства: (x+2)(x-1) > 0.

3. Нахождение знаков произведения

• Ключевые точки: x = -2 и x = 1.

• Разобьем числовую ось на интервалы: (-∞, -2), (-2, 1), (1, ∞).

• Проверяем знак произведения в каждом интервале:

  • В (-∞, -2): возьмём x = -3. (x+2) = -1 (отрицательно), (x-1) = -4 (отрицательно) → произведение положительно → > 0, условие выполняется.
  • В (-2, 1): возьмём x = 0. (x+2) = 2 (положительно), (x-1) = -1 (отрицательно) → произведение отрицательно → не подходит.
  • В (1, ∞): возьмём x = 2. (x+2) = 4 (положительно), (x-1) = 1 (положительно) → произведение положительно → выполняется.

4. Ответ

• Решение неравенства: x ∈ (-∞, -2) ∪ (1, ∞).

Проверка на примере

• Пусть x = -3: исходное выражение = (2(-3)+1)(-3+2) - 3(-3)(-3+2) = (-5)(-1) - 3(-3)(-1) = 5 - 9 = -4 < 0. Удовлетворяет условию, что подтверждает результат.