Задача на алгебру для 8 класса. Обозначим:
- числитель дроби за n
- знаменатель дроби за d, причём d = n + 3 (знаменатель больше числителя на 3)
По условию после прибавления к числителю 7 и к знаменателю 5 новая дробь увеличится на 1/2 по отношению к исходной:
(n + 7) / (d + 5) = n / d + 1/2
Подставим d = n + 3:
(n + 7) / (n + 8) = n / (n + 3) + 1/2
Приведём правую часть к общему знаменателю:
n/(n+3) + 1/2 = [2n + (n + 3)] / [2(n + 3)] = 3(n + 1) / [2(n + 3)]
Тогда получаем уравнение:
(n + 7) / (n + 8) = 3(n + 1) / [2(n + 3)]
Кросс-умножаем:
2(n + 7)(n + 3) = (n + 8) · 3(n + 1)
Раскрываем скобки и приводим подобные:
2(n^2 + 10n + 21) = 3(n^2 + 9n + 8)
2n^2 + 20n + 42 = 3n^2 + 27n + 24
0 = n^2 + 7n - 18
Такое квадратное уравнение даёт корни:
n = [-7 ± sqrt(49 + 72)] / 2 = [-7 ± 11] / 2
Получаем n = 2 или n = -9.
Разумеется, в обычной задаче про дробь с натуральными числителями и знаменателями обычно требуют положительные числа, поэтому выбираем n = 2. Тогда d = n + 3 = 5. Исходная дробь:
n/d = 2/5.
Проверка:
После прибавления 7 к числителю и 5 к знаменателю получаем (2 + 7) / (5 + 5) = 9/10 = 0.9.
Исходная дробь 2/5 = 0.4. Разница 0.9 − 0.4 = 0.5 = 1/2. Всё верно.
Ответ: 2/5.
Примечание: второй корень n = -9 даёт знаменатель -6, что не соответствует обычной задаче с натуральными числителями и знаменателями, но формально тоже удовлетворяет уравнению (ведь (-9)/(-6) = 3/2 и (−9+7)/(−6+5) = 2). Для обычного варианта с положительными числами берём 2/5.
