log√3(x-2)log√5x=2log3(x-2)

Решение задачи: log√3(x−2) · log√5 x = 2 log3(x−2)

1. Область определения

• чтобы логарифмы существовали: x−2 > 0 и x > 0.
• следовательно, x > 2.

2. Приведение через переход base-изменения

• Заметим, что log√3(x−2) = ln(x−2)/ln(√3) = ln(x−2) / (1/2 ln 3) = 2 · [ln(x−2)/ln 3] = 2 log3(x−2).
• Подставим это в уравнение: (2 log3(x−2)) · log√5 x = 2 log3(x−2).

3. Приведение к произведению

• Перенесём правую часть влево: 2 log3(x−2) [ log√5 x − 1 ] = 0.

4. Решение уравнения

• Произведение равно нулю, следовательно: a) log3(x−2) = 0 → x−2 = 1 → x = 3. b) log√5 x = 1 → x = (√5)^1 = √5.

5. Проверка и итог

• Область уже требует x > 2, оба найденных значения удовлетворяют этому: x = 3 и x = √5.
• Проверку можно опустить, так как преобразования сохраняют истину для допустимых x, но можно коротко проверить:
  • для x = 3: левая часть = log√3(1) · log√5(3) = 0, правая = 2 log3(1) = 0 — верно.
  • для x = √5: левая часть = log√3(√5−2) · log√5(√5) = log√3(√5−2) · 1, правая = 2 log3(√5−2) — по нашему выводу они совпадают, так как log√3(a) = 2 log3(a).

Ответ: x = 3 или x = √5.