Log√3(x-2)log√5x=2log3(x-2)

Решение задачи: log√3(x−2) · log√5 x = 2 log3(x−2) 1) Область определения - чтобы логарифмы существовали: x−2 > 0 и x > 0. - следовательно, x > 2. 2) Приведение через переход base-изменения - Заметим, что log√3(x−2) = ln(x−2)/ln(√3) = ln(x−2) / (1/2 ln 3) = 2 · [ln(x−2)/ln 3] = 2 log3(x−2). - Подставим это в уравнение: (2 log3(x−2)) · log√5 x = 2 log3(x−2). 3) Приведение к произведению - Перенесём правую часть влево: 2 log3(x−2) [ log√5 x − 1 ] = 0. 4) Решение уравнения - Произведение равно нулю, следовательно: a) log3(x−2) = 0 → x−2 = 1 → x = 3. b) log√5 x = 1 → x = (√5)^1 = √5. 5) Проверка и итог - Область уже требует x > 2, оба найденных значения удовлетворяют этому: x = 3 и x = √5. - Проверку можно опустить, так как преобразования сохраняют истину для допустимых x, но можно коротко проверить: - для x = 3: левая часть = log√3(1) · log√5(3) = 0, правая = 2 log3(1) = 0 — верно. - для x = √5: левая часть = log√3(√5−2) · log√5(√5) = log√3(√5−2) · 1, правая = 2 log3(√5−2) — по нашему выводу они совпадают, так как log√3(a) = 2 log3(a). Ответ: x = 3 или x = √5.