Игра состоит в набрасывании колец и колышек. Игрок получает 6 колец и бросает их до первого попадания. Вероятность точного броска равна 0,2. С какой вероятностью хотя бы одно…

Задача понятна: нужно понять, при каком положении дел останется хотя бы одно кольцо неиспользованным после того, как игрок бросит до первого попадания (p = 0,2).

Разбор по шагам:

• Вероятность промаха за один бросок = q = 1 − p = 0,8.
• Игрок бросает до первого попадания. Чтобы осталось хотя бы одно кольцо, первый попадание должно произойти не позже 5-го броска (то есть на 1-й, 2-й, 3-й, 4-й или 5-й попытке). Если попадание случится на 6-й попытке или не случится вообще, все кольца будут использованы.
• Вероятность того, что попадание произойдет в первые 5 бросков = 1 − вероятность промаха в первых 5 бросках = 1 − q^5.
• Подстановка: 1 − 0,8^5 = 1 − 0,32768 = 0,67232.

Ответ:

• Вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неиспользованным: 0,67232 (примерно 67,23%).

Примечание: можно увидеть альтернативный подход через сумму первых успехов P(first success на k-й бросок) для k = 1..5, которая даёт тот же результат: sum_{k=1}^5 q^{k−1} p = 1 − q^5. Также можно заметить общую формулу для случая n колец: P(at least one unused) = 1 − (1 − p)^{n−1}. Здесь n = 6, p = 0,2, даёт 1 − 0,8^5.