Ниже разбор по каждой последовательности. Цель: понять закономерность и дать следующий член или общий вид формулы.
а) 12, 14, 16 ...
- Закономерность: арифметическая прогрессия. Разность d = +2.
- Общее правило: a_n = 12 + 2(n − 1) = 2n + 10.
- Следующие члены: 18, 20, ...
б) 3, 6, 12, 24...
- Закономерность: геометрическая прогрессия. Отношение q = 2.
- Общее правило: a_n = 3 · 2^{n−1}.
- Следующий член: 48 (затем 96 и т. д.).
в) 1, 5, 25...
- Закономерность: геометрическая прогрессия. Отношение q = 5.
- Общее правило: a_n = 5^{n−1}.
- Следующий член: 125 (затем 625 и т. д.).
г) 2, 5, 4, 8, 6, 11...
- Закономерность: две подпоследовательности, чередующиеся между собой.
- Нечётные позиции: 2, 4, 6, ... = 2k (где позиция 2k−1).
- Чётные позиции: 5, 8, 11, ... = 3k + 2 (где позиция 2k).
- Общее описание:
- a_{2k−1} = 2k
- a_{2k} = 3k + 2
- Следующий член (после 11, т.е. a_7): 8.
д) 1, 4, 9, 16
- Закономерность: квадраты целых чисел.
- Общее правило: a_n = n^2.
- Следующий член: 25; затем 36 и т. д.
е) 1, 8, 27
- Закономерность: кубы целых чисел.
- Общее правило: a_n = n^3.
- Следующий член: 64; далее 125 и т. д.
