Отрезок AB пересекает плоскость α . Концы отрезка отстают от плоскости на расстояния 1 и 20 . Найдите градусную меру угла между отрезком и плоскостью α , если известно, что…

Задача: Отрезок AB пересекает плоскость α. Концы отрезка находятся на расстояниях 1 и 20 от плоскости α (на противоположных сторонах). Найти градусную меру угла между отрезком AB и плоскостью α, если проекция AB на плоскость имеет длину 7√3.

Пояснение и решение по шагам:

1. Обозначим длину отрезка AB как L, а угол между AB и плоскостью α как θ (0 ≤ θ ≤ 90°).
   Тогда:

   • длина проекции AB на плоскость α равна L cos θ (это то, что «остается» в плоскости после проекции);
   • компонент AB вдоль нормали к плоскости имеет длину L sin θ.

2. Условия задачи говорят:

   • расстояния концов до плоскости: 1 и 20. Так как AB пересекает плоскость, концы находятся по разные стороны, значит суммарная перпендикулярная составляющая между концами равна 1 + 20 = 21. То есть L sin θ = 21.

   • проекция AB на плоскость имеет длину 7√3. То есть L cos θ = 7√3.

3. Найдём угол θ, используя отношение: tan θ = (L sin θ) / (L cos θ) = 21 / (7√3) = 3 / √3 = √3.

   Значит θ = 60°.

4. Проверка (не обязательно, но полезно): cos θ = cos 60° = 1/2, тогда из L cos θ = 7√3 получаем L = (7√3) / (1/2) = 14√3. sin θ = sin 60° = √3/2, тогда L sin θ = (14√3)(√3/2) = 14·3/2 = 21, что согласуется с данными.

Ответ: угол между отрезком AB и плоскостью α равен 60°.