5x²+28x-65

Задача: решить уравнение 5x^2 + 28x - 65 = 0. 1) Проверка на факторизацию (раскрытие по сумме-производному) - Найдем пары чисел p и q, такие что p·q = a·c = 5·(-65) = -325 и p + q = b = 28. - Возможные пары для -325: (-1, 325), (-5, 65), (-13, 25) (и их противоположные знаки). - Их суммы: 324, 60, 12 (и соответствующие другие знаки не дают 28). - Значит разложение на целые множители через разложение средней дроби не подходит. Нужно использовать общий метод: квадратное уравнение. 2) Квадратная формула - Для уравнения ax^2 + bx + c = 0 с a = 5, b = 28, c = -65: Дискриминант D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4·5·(-65) = 784 + 1300 = 2084. - Корни: x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-28 ± sqrt(2084)) / 10. - Упростим корень: sqrt(2084) = sqrt(4·521) = 2√521. Тогда x = (-28 ± 2√521) / 10 = (-14 ± √521) / 5. Это и есть точные корни. 3) Числовые приближённые значения - √521 ≈ 22.825. - x1 ≈ (-14 + 22.825) / 5 ≈ 8.825 / 5 ≈ 1.765. - x2 ≈ (-14 - 22.825) / 5 ≈ -36.825 / 5 ≈ -7.365. 4) Дополнительное объяснение (метод Completing the Square) - Приведём к форме квадрата: 5x^2 + 28x - 65 = 5[x^2 + (28/5)x] - 65 = 5[(x + 14/5)^2 - (14/5)^2] - 65 = 5(x + 14/5)^2 - 5·(196/25) - 65 = 5(x + 14/5)^2 - 196/5 - 65 = 5(x + 14/5)^2 - 521/5. - Равняется нулю: 5(x + 14/5)^2 - 521/5 = 0 (x + 14/5)^2 = 521/25 x = -14/5 ± √521/5 = (-14 ± √521) / 5. - Это те же корни, что выше. Итак, корни уравнения 5x^2 + 28x - 65 = 0: - Точное выражение: x = (-14 ± √521) / 5. - Приближённо: x ≈ 1.765 и x ≈ -7.365. Дополнительная заметка: дискриминант > 0, следовательно, два действительных корня.