Две окружности с равными радиусами касаются друг друга. Третья окружность радиусом 8 касается внешним образом двух данных в точках A и B . Найдите радиус равных окружностей, если AB=12 .

Пояснение задачи (цель: понять). Пусть радиус равных окружностей равен r, а радиус третьей окружности — R = 8. Две равные окружности касаются друг друга внешне, значит расстояние между их центрами O1O2 равно 2r. Третья окружность касается обеих внешне, значит O3O1 = O3O2 = r + R. 1) Размещение и параметры - Поместим O1 и O2 на оси так, чтобы O1 = (-r, 0), O2 = (r, 0). Тогда O1O2 = 2r. - Центр третьей окружности O3 будет на оси симметрии, то есть в точке (0, y). По условию O3O1 = r + R, значит: sqrt((0 + r)^2 + y^2) = r + R ⇒ r^2 + y^2 = (r + R)^2 ⇒ y^2 = (r + R)^2 − r^2 = R(2r + R). Это полезно для координат, но конкретно для AB не обязательно выписывать y. 2) Точки касания A и B - Точка касания A окружности O1 (радиус r) с окружностью O3 (радиус R) лежит на линии O1O3 и делит её на отрезки OA = r и AO3 = R. Поэтому вектор O3 − O1 = (r, y). Ещё точку A можно получить как: A = O1 + (r/(r + R)) (O3 − O1). - Аналогично точка B — касания с O2: B = O2 + (r/(r + R)) (O3 − O2). 3) Координаты A и B Вычислим по формулам: - O1 = (−r, 0), O2 = (r, 0), O3 = (0, y). A = (−r, 0) + (r/(r+R)) (r, y) = (−r + r^2/(r+R), (r y)/(r+R)). B = (r, 0) + (r/(r+R)) (−r, y) = (r − r^2/(r+R), (r y)/(r+R)). Заметим, что y-координаты совпадают, следовательно AB горизонтальная и параллельна O1O2. Разность координат по x: x_A = −r + r^2/(r+R) = − rR/(r+R), x_B = r − r^2/(r+R) = + rR/(r+R). Тогда AB = x_B − x_A = 2 rR/(r+R). 4) Решение Дано AB = 12, R = 8. Подставим: 12 = 2 r · 8 / (r + 8) = 16r / (r + 8). Умножим обе стороны на (r + 8): 12(r + 8) = 16r ⇒ 12r + 96 = 16r ⇒ 96 = 4r ⇒ r = 24. Ответ: радиус равных окружностей равен 24.