Говорят, что отрезок `AB` виден из точки `F` под углом $$\varphi$$, если $$\angle AFB=\varphi$$. Рассмотрим окружность $$\Omega$$ с диаметром `AB`. Докажите, что из любой точки окружности $$\Omega$$, отличной от `A` и `B`, отрезок `AB` виден под углом $$90^\circ$$. б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Ниже подробное решение задачи с объяснениями. Задача: Говорят, что отрезок AB виден из точки F под углом φ, если ∠AFB = φ. Рассматривается окружность Ω с диаметром AB. Докажите, что из любой точки окружности Ω, отличной от A и B, отрезок AB виден под углом 90°. б) Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Часть A: любой F на окружности Ω (и F ≠ A, B) видит AB под углом 90° - Факты: - AB является диаметром окружности Ω. - Центральный угол ∠AOB, где O — центр Ω, равен 180°, потому что A и B противоположны на окружности. - По теореме о вписанном угле (или по теореме Фалеса): угол, subtendированный дугой AB на любой точке F окружности, равен половине центрального угла, то есть ∠AFB = 1/2 ∠AOB = 1/2 · 180° = 90°. - Вывод: для любой точки F на Ω, отличной от A и B, угол ∠AFB действительно равен 90°. Кратко: на окружности с диаметром AB любая видимая точка F образует с концами AB прямой угол. Часть B: обратное утверждение. Сформулируйте и докажите его Обратное утверждение: если точка F такая, что ∠AFB = 90°, то F лежит на окружности с диаметром AB (то есть на той же окружности Ω). Доказательство 1 (геометрическое, через окрестность треугольника): - Пусть F удовлетворяет ∠AFB = 90°. - В треугольнике AFB правая крышка находится в вершине F. - Пусть M — середина отрезка AB. В треугольнике AFB у точки M есть важное свойство: она является серединою для гипотенузы AB и является центром описанной вокруг треугольника окружности (ом). Следовательно MA = MB и MF = MA. Это следует из известной геометрической факты: в любом прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, то есть с точкой M середины AB. - Таким образом MF = MA, и окружность с центром M и радиусом MA проходит через A, B и F. Эта окружность имеет диаметр AB (так как центр — середина AB и радиус равен половине AB). - Следовательно, F лежит на окружности с диаметром AB. Доказательство 2 (координатное или через циркумкруг треугольника, можно привести как альтернативу): - Пусть AB — фиксированное отрезок. Поместим систему координат так, чтобы середина M отрезка AB была в начале координат, а AB лежал вдоль оси x: A(−d, 0), B(d, 0). Тогда круг с диаметром AB имеет уравнение x^2 + y^2 = d^2. - Пусть F = (x, y). Условие ∠AFB = 90° эквивалентно (A − F)·(B − F) = 0. Подстановка дает: (−d − x, −y) · (d − x, −y) = 0 ⇒ (−d − x)(d − x) + y^2 = 0 ⇒ (−d^2 + x^2) + y^2 = 0 ⇒ x^2 + y^2 = d^2. - Это ровно условие того, чтобы F принадлежал окружности x^2 + y^2 = d^2, то есть окружности с диаметром AB. - Вывод: любая точка F, для которой ∠AFB = 90°, лежит на окружности с диаметром AB. Итог: - Часть A: из любой точки F на окружности Ω с диаметром AB, F ≠ A,B, угол ∠AFB равен 90°. - Часть B: обратное утверждение: если ∠AFB = 90°, то F лежит на той же окружности Ω (окружности с диаметром AB).