{x-2y²=2, {3x+y=7 решите систему уравнений

Задача: решить систему

1. x - 2y^2 = 2
2. 3x + y = 7

Способ 1. Подстановка (первый способ)

• Из первой уравнения выразим x: x = 2 + 2y^2
• Подставим в вторую: 3(2 + 2y^2) + y = 7 6 + 6y^2 + y = 7 6y^2 + y - 1 = 0
• Решим квадратное уравнение по дискриминанту: D = 1^2 - 4·6·(-1) = 1 + 24 = 25 y = (-1 ± √25) / (2·6) = (-1 ± 5) / 12 -> y1 = ( -1 + 5 ) / 12 = 4/12 = 1/3 -> y2 = ( -1 - 5 ) / 12 = -6/12 = -1/2
• Найдём x из x = 2 + 2y^2: Для y = 1/3: y^2 = 1/9, x = 2 + 2/9 = 20/9 Для y = -1/2: y^2 = 1/4, x = 2 + 2·1/4 = 2 + 1/2 = 5/2
• Итак, две пары решений: (x, y) = (20/9, 1/3) и (5/2, -1/2)

Проверка (быстрая)

• Для (20/9, 1/3): 3x + y = 3·(20/9) + 1/3 = 20/3 + 1/3 = 21/3 = 7 ✓
• Для (5/2, -1/2): 3x + y = 3·(5/2) - 1/2 = 15/2 - 1/2 = 14/2 = 7 ✓

Способ 2. Альтернативный путь (решение через y = 7 - 3x)

• Из второй уравнения y = 7 - 3x. Подставим в первую: x - 2(7 - 3x)^2 = 2 (7 - 3x)^2 = 49 - 42x + 9x^2 x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2 x - 98 + 84x - 18x^2 = 2 -18x^2 + 85x - 98 = 2 -18x^2 + 85x - 100 = 0 18x^2 - 85x + 100 = 0
• Дискриминант: D = 85^2 - 4·18·100 = 7225 - 7200 = 25 x = (85 ± √25) / (2·18) = (85 ± 5) / 36 x1 = 90/36 = 5/2 x2 = 80/36 = 20/9
• Соответственно y = 7 - 3x: при x = 5/2: y = 7 - 15/2 = -1/2 при x = 20/9: y = 7 - 60/9 = 63/9 - 60/9 = 1/3

Ответ: пары (x, y)

• (20/9, 1/3)
• (5/2, -1/2)