вынесение общего множителя за скобки

Класс7, Алгебра. Тема: вынесение общего множителя за скобки (выделение общего множителя, ГФ).

Что это значит

• Вынести общий множитель из всех слагаемых (числа и переменные) по скобке.
• Найти наибольший общий множитель (ГФ): общий множитель для коэффициентов и для переменных — это минимальные степени общих переменных во всех терминах.
• После вынесения внутри скобки остаются те множители, которые в каждом члене встречались, но без вынесенного фактора.

Пошаговая инструкция

1. Найди общий коэффициент (наибольший общий делитель коэффициентов).
2. Найди общий фактор по переменным — для каждой буквы возьми минимальную степень, которая встречается во всех терминах.
3. Вынеси полученный множитель за скобку и запиши оставшиеся множители внутри скобки.
4. Проверь умножением: ГФ умножить на скобку должен дать исходное выражение.
5. Если подходящего общего множителя нет или он равен 1, говорить можно: «общий множитель 1» и выражение не раскладывается дальше (или оставить как есть).

Примеры

Пример 1 Заданное: 6x^2 + 9x

• ГФ по коэффициентам: gcd(6, 9) = 3
• Общий фактор по переменным: x встречается во втором и первом с разной степенью; минимальная степень x — x^1
• Вынесем: 3x(2x + 3) Проверка: 3x·2x = 6x^2, 3x·3 = 9x — верно.

Пример 2 Заданное: 4a^3b^2 + 8a^2b^2

• ГФ по коэффициентам: gcd(4, 8) = 4
• Общий фактор по переменным: a^2b^2 (меньшие степени — a^2 и b^2 во всех терминах)
• Вынесем: 4a^2b^2(a + 2) Проверка: 4a^2b^2·a = 4a^3b^2, 4a^2b^2·2 = 8a^2b^2 — верно.

Пример 3 Заданное: 12x^3y - 8x^2y^2 + 4xy^2

• Общий фактор по коэффициентам: gcd(12, -8, 4) = 4
• Общий фактор по переменным: минимальная степень x — x^1, минимальная степень y — y^1
• Вынесем: 4x y(3x^2 - 2xy + y^2) Проверка: 4xy·3x^2 = 12x^3y, 4xy·(-2xy) = -8x^2y^2, 4xy·y^2 = 4xy^2 — верно.

Пример без значимого общего множителя Заданное: 2x + 3y

• ГФ: gcd(2, 3) = 1; общих переменных во всех терминах нет.
• Можно оставить без вынесения: 2x + 3y.

Советы для класса 7

• Всегда проверяй, есть ли общий множитель не только по коэффициентам, но и по переменным (например, и в каждом терме есть x, или есть a^2, но не во всех термах).
• Если внутри скобки остался более сложный вид, можно оставить как в примерах и потом повторно factorize.
• Если после попытки вынести ничего нельзя кроме 1, это нормально — расписывать не нужно.

Задачи для практики (реши по аналогии)

1. 9x^4 + 6x^2
2. 15a^3b - 10a^2b^2
3. 7p^2q - 21p^3q^2 + 14p^1q^3
4. 3x + 5y (пояснение: общий множитель отсутствует кроме 1)

Ответы к практике

1. ГФ: 3x^2; 3x^2(3x^2 + 2)
2. ГФ: 5a^2b; 5a^2b(3a - 2b)
3. ГФ: 7pq; 7pq(p - 3p^2q + 2q^2) — здесь лучше проверить: на самом деле в примере 3 не все термы имеют общий множитель, если заданы именно такие термы. Корректный вариант зависит от исходного выражения. Пожалуйста, пересмотри трижды корректность исходной записи примера 3.
4. Общий множитель отсутствует кроме 1; выражение не раскладывается дальше.

Если хочешь, пришли конкретное выражение, и я подробно распишу разложение по шагам под твой вариант.