Ниже сгенерирован тест по геометрии, тема: Интегралы (интеграллы). Класс 11. Тип вопросов: открытые. Количество вопросов: 5. Ответы приведены после каждого задания.
- Вопрос 1
Найдите площадь области, ограниченной кривой y = x^2 и прямой y = 4.
Ответ:
Площадь равна A = ∫{-2}^{2} (4 − x^2) dx.
A = [4x − x^3/3]{-2}^{2} = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.
Итак, площадь области равна 32/3 единиц площади.
- Вопрос 2
Найдите объём тела вращения вокруг оси Ox, образованного областью между кривыми y = 2x и y = x^2 на интервале x ∈ [0, 2].
Ответ:
Объём задаётся по формуле оборачивания нашими плоскостями: V = π ∫_0^2 [(2x)^2 − (x^2)^2] dx = π ∫_0^2 (4x^2 − x^4) dx.
V = π [ (4/3)x^3 − (1/5)x^5 ]_0^2 = π (32/3 − 32/5) = 64π/15.
Итак, объём тела равен 64π/15.
- Вопрос 3
Найдите длину дуги параболы y = x^2 от x = 0 до x = 1.
Ответ:
Длина дуги: L = ∫_0^1 sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx = ∫_0^1 sqrt(1 + (2x)^2) dx = ∫_0^1 sqrt(1 + 4x^2) dx.
После вычисления:
L = (1/4)[ 2x sqrt(1 + 4x^2) + asinh(2x) ]_0^1
= (1/4)[ 2√5 + asinh(2) ].
Так как asinh(2) = ln(2 + √5), получаем:
L = (1/4)[ 2√5 + ln(2 + √5) ] ≈ 1.479 (единиц длины).
- Вопрос 4
Найдите объём тела вращения вокруг оси Ox, образованного площадью под кривой y = √x на отрезке x ∈ [0, 4].
Ответ:
Объём задаётся по формуле вращения вокруг оси Ox: V = π ∫_0^4 (√x)^2 dx = π ∫_0^4 x dx.
V = π [ x^2/2 ]_0^4 = π · 16/2 = 8π.
Итак, объём равен 8π.
- Вопрос 5
Найдите центр масс области, ограниченной кривой y = x^2 и прямой y = 1 на интервале x ∈ [-1, 1].
Ответ:
Область симметрична относительно оси y, поэтому x̄ = 0.
Площадь A = ∫{-1}^{1} (1 − x^2) dx = [x − x^3/3]{-1}^{1} = 4/3.
Координата ȳ дана формулой ȳ = (1/(2A)) ∫{-1}^{1} (1^2 − (x^2)^2) dx = (1/(2A)) ∫{-1}^{1} (1 − x^4) dx.
Так как интегрант чётный, получаем:
∫_{-1}^{1} (1 − x^4) dx = 2 ∫_0^1 (1 − x^4) dx = 2 [ x − x^5/5 ]_0^1 = 8/5.
Следовательно, ȳ = (1/(2A)) · (8/5) = (1/(2 · 4/3)) · (8/5) = (3/8) · (8/5) = 3/5.
Итак, центр масс имеет координаты (x̄, ȳ) = (0, 3/5).
