"На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, так что AM: MB = 2:3, BK: KC=4:5. Через середину отрезка МК и вершину В провели прямую. В каком отношении она делит…

Задача: В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки M и K такими, что AM:MB = 2:3 и BK:KC = 4:5. Через середину MK и вершину B проведена прямая. В каком отношении она делит сторону AC?

Решение по шагам (модульная линейная алгебра/векторы):

1. Найдём координаты точек M и K векторно.

• Пусть A, B, C — векторные позиции точек A, B, C.
• Так как AM:MB = 2:3, точка M на AB задаётся формулой M = (3A + 2B)/5.
• Так как BK:KC = 4:5, точка K на BC задаётся формулой K = (5B + 4C)/9.

2. Найдём середину MK.

• Середина N MK равна N = (M + K)/2.
• Подставим M и K: M + K = (3A + 2B)/5 + (5B + 4C)/9.
• Приведём к общему знаменателю 45: M + K = (27A + 18B)/45 + (25B + 20C)/45 = (27A + 43B + 20C)/45.
• Значит, N = (M + K)/2 = (27A + 43B + 20C)/90.

3. Вписываем прямую BN в AC и ищем точку пересечения P.

• Любая точка на AC имеет вид P(t) = A + t(C − A) = (1 − t)A + tC, где t ∈ [0,1].
• Любая точка на BN имеет вид BN(s) = B + s(N − B).
• Найдём s, t такие, чтобы BN(s) = P(t).

4. Подстановка и система уравнений по базису A, B, C.

• N − B = (27A + 43B + 20C)/90 − B = (27A − 47B + 20C)/90.

• BN(s) = B + (s/90)(27A − 47B + 20C).

• Приравниваем BN(s) и P(t): BN(s) = (s/90)·27 A + [1 − (47s)/90] B + (s/90)·20 C P(t) = (1 − t) A + 0·B + t C.

• Сравнивая коэффициенты по A, B, C получаем систему:

  1. (27s)/90 = 1 − t
  2. 1 − (47s)/90 = 0
  3. (20s)/90 = t

• Из второго уравнения: s = 90/47.

• Из первого: (27/90)·s = 1 − t ⇒ (27/90)·(90/47) = 1 − t ⇒ 27/47 = 1 − t ⇒ t = 20/47.

• Из третьего: t = (20/90)·s = (2/9)·(90/47) = 180/423 = 20/47, что согласуется.

5. Отношение AP:PC.

• На AC точка P задаётся параметром t: AP = t·AC, PC = (1 − t)·AC.
• Следовательно, AP:PC = t:(1 − t) = (20/47) : (27/47) = 20:27.

Ответ: прямая BN делит сторону AC в отношении AP:PC = 20:27 (или AP/PC = 20/27).