Периметр правильного многоугольника равен 42 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. найди площадь многоугольника

Дано: периметр P = 42 см, радиус вписанной окружности r = 5 см для правильного многоугольника.

Идея решения:

• Правильный многоугольник имеет инкругу (вписанную окружность) радиуса r. Многоугольник можно разбить на n равных треугольников, где каждый треугольник вершины — центр окружности, основание — сторона многоугольника, высота — r.
• Площадь каждого такого треугольника равна (1/2) · основание · высота = (1/2) · a · r, где a — длина стороны.
• Всего таких треугольников n, и сумма оснований равна периметру P = n · a. Значит площадь всего многоугольника: A = n · (1/2) · a · r = (1/2) · (n a) · r = (1/2) · P · r.

Подставляем данные:

• A = (1/2) · 42 · 5 = 21 · 5 = 105

Ответ: площадь многоугольника равна 105 см².

Примечание (по желанию): можно проверить совместимость данных, найдя n из уравнения P = 2 r n tan(π/n) → 42 = 2·5·n·tan(π/n) → n tan(π/n) = 4.2. Для целого n решение не существует, поэтому данных формально соответствуют площади, но пара параметров может быть не совместима с конкретным целым количеством сторон. Тем не менее формула площади A = (P r)/2 корректна и дает ответ.