На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, так что AM: MB = 2:3, BK: KC=4:5. Через середину отрезка МК и вершину В провели прямую. В каком отношении она делит сторону…

Задача: В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки M и K so AM:MB = 2:3 и BK:KC = 4:5. Через середину MK и вершину B проведена линия. Какое отношение она делит сторону AC?

Решение (координатное, по шагам):

1. Выберем удобную систему координат:

• A = (0, 0)
• B = (1, 0)
• C = (0, 1)

2. Найдем координаты точек M и K по формулам внутреннего деления отрезков:

• M делит AB в отношении AM:MB = 2:3, значит M = (3A + 2B)/5. M = (3*(0,0) + 2*(1,0))/5 = (2/5, 0).

• K делит BC в отношении BK:KC = 4:5, значит K = (5B + 4C)/9. K = (5*(1,0) + 4*(0,1))/9 = (5/9, 4/9).

3. Найдём середину MK:

• P = (M + K)/2 = ((2/5 + 5/9)/2, (0 + 4/9)/2) = (43/90, 2/9).

4. Линия BP пересекает AC. AC у нас задаётся как прямая x = 0 (прохождение от A(0,0) к C(0,1)).

5. Параметрическое уравнение прямой BP:

• Вектор BP = P − B = (43/90 − 1, 2/9 − 0) = (−47/90, 2/9).
• Любая точка на BP: B + t(BP) = (1, 0) + t(−47/90, 2/9).

6. Найдём параметр t, при котором x = 0 (соответствует точке пересечения с AC):

• 1 + t(−47/90) = 0 ⇒ t = 90/47.

7. Координата y в точке пересечения D с AC:

• y = 0 + t(2/9) = (90/47)·(2/9) = 20/47.

8. Точка D лежит на AC между A и C, её координата по оси y равна для части AD/AC. Следовательно,

• AD:DC = (значение y) : (1 − значение y) = 20/47 : 27/47 = 20:27.

Ответ: линия через B и середину MK делит сторону AC в отношении AD:DC = 20:27.