На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, так что AM: MB = 2:3, BK: KC=4:5. Через середину отрезка МК и вершину В провели прямую. В каком отношении она делит сторону АС? (» рис"

Задача: В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки M и K so AM:MB = 2:3 и BK:KC = 4:5. Через середину MK и вершину B проведена линия. Какое отношение она делит сторону AC? Решение (координатное, по шагам): 1) Выберем удобную систему координат: - A = (0, 0) - B = (1, 0) - C = (0, 1) 2) Найдем координаты точек M и K по формулам внутреннего деления отрезков: - M делит AB в отношении AM:MB = 2:3, значит M = (3A + 2B)/5. M = (3*(0,0) + 2*(1,0))/5 = (2/5, 0). - K делит BC в отношении BK:KC = 4:5, значит K = (5B + 4C)/9. K = (5*(1,0) + 4*(0,1))/9 = (5/9, 4/9). 3) Найдём середину MK: - P = (M + K)/2 = ((2/5 + 5/9)/2, (0 + 4/9)/2) = (43/90, 2/9). 4) Линия BP пересекает AC. AC у нас задаётся как прямая x = 0 (прохождение от A(0,0) к C(0,1)). 5) Параметрическое уравнение прямой BP: - Вектор BP = P − B = (43/90 − 1, 2/9 − 0) = (−47/90, 2/9). - Любая точка на BP: B + t(BP) = (1, 0) + t(−47/90, 2/9). 6) Найдём параметр t, при котором x = 0 (соответствует точке пересечения с AC): - 1 + t(−47/90) = 0 ⇒ t = 90/47. 7) Координата y в точке пересечения D с AC: - y = 0 + t(2/9) = (90/47)·(2/9) = 20/47. 8) Точка D лежит на AC между A и C, её координата по оси y равна для части AD/AC. Следовательно, - AD:DC = (значение y) : (1 − значение y) = 20/47 : 27/47 = 20:27. Ответ: линия через B и середину MK делит сторону AC в отношении AD:DC = 20:27.