Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А логическое выражение (3y−x>12)∨(2x+6y≥72)∨(x>24)∨(x⋅y

Задача: найти наименьшее неотрицательное целое A, при котором выражение (3y − x > 12) ∨ (2x + 6y ≥ 72) ∨ (x > 24) ∨ (xy < A) тождественно истинно для любых целых неотрицательных x, y. Пояснение и решение 1) Идея Чтобы вся дизъункция была истинной для всех пар (x, y), достаточно, чтобы хотя бы одна часть была истинной для любой пары. Если найдутся пары, для которых первые три условия ложны, то для таких пар обязателен третий член: xy < A. Значит A должно быть больше максимального значения xy на всех парах, где - 3y − x ≤ 12 (то есть C1 ложна), - 2x + 6y ≥ 72 не выполняется, то есть x + 3y ≤ 36, но так как условие дано с ≥72, перепишем как: x + 3y ≤ 35 (C2 ложна), - x ≤ 24 (C3 ложна). Иными словами, ищем максимум xy по условиям: C1 ложна: x ≥ 3y − 12 C2 ложна: x + 3y ≤ 35 C3 ложна: x ≤ 24 x ≥ 0, y ≥ 0, целые. 2) Найдём допустимые y и соответствующие диапазоны x Из условий x ≥ max(0, 3y − 12) и x ≤ min(24, 35 − 3y) получаем допустимые y, если левая часть не превышает правую. Переберём y от 0 до 11 (проверим, где диапазон не пуст): - y = 0,1,2,3: LB = 0, UB = 24 → x ∈ [0, 24] - y = 4: LB = 0, UB = 23 → x ∈ [0, 23] - y = 5: LB = 3, UB = 20 → x ∈ [3, 20] - y = 6: LB = 6, UB = 17 → x ∈ [6, 17] - y = 7: LB = 9, UB = 14 → x ∈ [9, 14] - y ≥ 8: диапазон пуст ( LB > UB) Итого допустимы пары для y = 0,1,2,3,4,5,6,7 со соответствующими диапазонами x. 3) Максимум xy на допустимых парах Для каждого y берем максимально возможное x: - y = 0: max xy = 0 - y = 1: max xy = 1 × 24 = 24 - y = 2: max xy = 2 × 24 = 48 - y = 3: max xy = 3 × 24 = 72 - y = 4: max xy = 4 × 23 = 92 - y = 5: max xy = 5 × 20 = 100 - y = 6: max xy = 6 × 17 = 102 - y = 7: max xy = 7 × 14 = 98 Наибольший xy получается при (x, y) = (17, 6) и равен 102. Следовательно, если xy ≥ 103, то нельзя попасть в ситуацию, когда все три первых условия ложны. То есть для всех пар с xy ≥ 103 хотя бы одно из C1, C2, C3 истинно, и выражение удовлетворяется за счёт первых трёх членов. 4) Ответ Минимальное A, обеспечивающее тождественную истинность, равно 103. Пояснение: при A = 103 для всех пар (x, y), у которых первые три условия ложны, имеем xy ≤ 102, значит xy < 103 и C4 становится истинным. А для любых пар с xy ≥ 103 хотя бы одно из первых трёх условий истинно, поэтому вся дизъекция остаётся истинной. Нижний предел 102 достигается на примере (x, y) = (17, 6), поэтому A не может быть меньше 103.