Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что его сторона AE равна радиусу окружности. Найдите сумму углов B и D этого пятиугольника.

Задача: выпуклый пятиугольник ABCDE вписан в окружность, сторона AE равна радиусу окружности. Найдите сумму углов B и D. Решение - Обозначим через ε меру дуги AE (это дуга между соседними вершинами E и A; она равна центральному углу, соответствующему стороне AE). Обозначим остальные дуги как α = дуга AB, β = дуга BC, γ = дуга CD, δ = дуга DE. Тогда α + β + γ + δ + ε = 360°. - Вписанный угол равен половине меры дуги, на которую он смотрит. Следовательно: - ∠B = 1/2(ε + δ + γ) (угол B смотрит на дугу A–E–D–C), - ∠D = 1/2(ε + α + β) (угол D смотрит на дугу C–B–A–E). - Сумма углов B и D: ∠B + ∠D = 1/2[(ε + δ + γ) + (ε + α + β)] = 1/2[α + β + γ + δ + 2ε] = 1/2[(α + β + γ + δ + ε) + ε] = 1/2[360° + ε] = 180° + ε/2. - По условию AE = радиус окружности. Для хорды AE радиус и центральный угол ε связаны так: длина хорды c = 2R sin(ε/2). Здесь c = AE = R, значит: R = 2R sin(ε/2) ⇒ sin(ε/2) = 1/2 ⇒ ε/2 = 30° (так как ε — меньшая дуга между соседними вершинами, 0° < ε < 180°), следовательно ε = 60°. - Подстановка: ∠B + ∠D = 180° + ε/2 = 180° + 30° = 210°. Ответ: 210°.