Найти все пятизначные числа, которые при делении на 133 дают остаток 125, а при делении на 134 дают в остатке 111

Задача: найти все пятизначные числа n такие, что

• n ≡ 125 (mod 133)
• n ≡ 111 (mod 134)

Пошаговое решение

1. Условия совместимы

• gcd(133, 134) = 1, значит система совместна и решение единственно по модулю 133·134 = 17822.

2. Приведём к единичному неизвестному

• Пусть n = 125 + 133k (из первого условия).
• Подставим во второе условие: 125 + 133k ≡ 111 (mod 134).
• Так как 133 ≡ -1 (mod 134), получаем: 125 - k ≡ 111 (mod 134) → -k ≡ 111 - 125 ≡ -14 (mod 134) → k ≡ 14 (mod 134).

3. Общий вид решения

• k = 14 + 134t, где t целое.
• Тогда n = 125 + 133k = 125 + 133(14 + 134t) = 125 + 1862 + 17822t = 1987 + 17822t.
• Итак, все решения: n ≡ 1987 (mod 17822).

4. Найдём пятизначные n

• Нужно 10000 ≤ 1987 + 17822t ≤ 99999.

• Отсюда: t ≥ 1 и t ≤ 5.

• Перебираем t = 1,2,3,4,5:

  • t = 1: n = 1987 + 17822 = 19809
  • t = 2: n = 19809 + 17822 = 37631
  • t = 3: n = 37631 + 17822 = 55453
  • t = 4: n = 55453 + 17822 = 73275
  • t = 5: n = 73275 + 17822 = 91097

Ответ Все пятизначные числа, удовлетворяющие условиям: 19809, 37631, 55453, 73275, 91097.