Найти все пятизначные числа, которые при делении на 133 дают остаток 125, а при делении на 134 дают в остатке 111

Задача: найти все пятизначные числа n такие, что - n ≡ 125 (mod 133) - n ≡ 111 (mod 134) Пошаговое решение 1) Условия совместимы - gcd(133, 134) = 1, значит система совместна и решение единственно по модулю 133·134 = 17822. 2) Приведём к единичному неизвестному - Пусть n = 125 + 133k (из первого условия). - Подставим во второе условие: 125 + 133k ≡ 111 (mod 134). - Так как 133 ≡ -1 (mod 134), получаем: 125 - k ≡ 111 (mod 134) → -k ≡ 111 - 125 ≡ -14 (mod 134) → k ≡ 14 (mod 134). 3) Общий вид решения - k = 14 + 134t, где t целое. - Тогда n = 125 + 133k = 125 + 133(14 + 134t) = 125 + 1862 + 17822t = 1987 + 17822t. - Итак, все решения: n ≡ 1987 (mod 17822). 4) Найдём пятизначные n - Нужно 10000 ≤ 1987 + 17822t ≤ 99999. - Отсюда: t ≥ 1 и t ≤ 5. - Перебираем t = 1,2,3,4,5: - t = 1: n = 1987 + 17822 = 19809 - t = 2: n = 19809 + 17822 = 37631 - t = 3: n = 37631 + 17822 = 55453 - t = 4: n = 55453 + 17822 = 73275 - t = 5: n = 73275 + 17822 = 91097 Ответ Все пятизначные числа, удовлетворяющие условиям: 19809, 37631, 55453, 73275, 91097.