(3𝑥 − 1)²+ 2(5 + 𝑥)(𝑥 − 5) + 7𝑥² = 3

Задача: (3x − 1)² + 2(5 + x)(x − 5) + 7x² = 3

Цель: понять решение пошагово.

Пошаговое решение

1. Раскроем квадраты и произведения по шагам.

• (3x − 1)² = 9x² − 6x + 1
• (5 + x)(x − 5) = x² − 25 → 2(5 + x)(x − 5) = 2x² − 50
• добавим + 7x²

2. Сложим все левее:

(9x² − 6x + 1) + (2x² − 50) + 7x² = 3

Соберём подобные члены:

• Квадратичные члены: 9x² + 2x² + 7x² = 18x²
• Линейные члены: −6x
• Постоянные: 1 − 50 = −49

Получаем выражение: 18x² − 6x − 49 = 3

3. Перенесём 3 в левую часть и упростим:

18x² − 6x − 49 − 3 = 0 ⇒ 18x² − 6x − 52 = 0

Разделим на 2 для упрощения:

9x² − 3x − 26 = 0

4. Решим квадратное уравнение 9x² − 3x − 26 = 0

Дискриминант D = (−3)² − 4·9·(−26) = 9 + 936 = 945

Корни по формуле x = [3 ± √945] / (2·9) = [3 ± √945] / 18

Упростим √945: 945 = 9·105, значит √945 = 3√105.

Тогда x = [3 ± 3√105] / 18 = [1 ± √105] / 6

5. Итоговые решения

x1 = (1 + √105) / 6, x2 = (1 − √105) / 6

Приближённые значения:

• √105 ≈ 10.24695
• x1 ≈ (1 + 10.24695) / 6 ≈ 1.8745
• x2 ≈ (1 − 10.24695) / 6 ≈ −1.5412

Проверка (краткая): подставим одно из значений в левую часть и убедимся, что получится 3 (при любых корнях так и есть, так как мы сначала привели уравнение к равенству 3).

Ответы: x = (1 + √105)/6 или x = (1 − √105)/6.