99999999:9999999999

Задача: сократить отношение 99999999:9999999999 (то есть 99,999,999 : 9,999,999,999).

Пошаговое решение:

1. Признаем форму чисел:

• 99,999,999 = 10^8 − 1
• 9,999,999,999 = 10^10 − 1

2. Найдём наибольший общий делитель (НОД) этих чисел. Для чисел вида 10^a − 1 и 10^b − 1 верно: НОД(10^a − 1, 10^b − 1) = 10^{gcd(a,b)} − 1. Здесь gcd(8, 10) = 2, значит НОД = 10^2 − 1 = 99.

3. Разделим числитель и знаменатель на НОД:

• 99,999,999 ÷ 99 = 1,010,101
• 9,999,999,999 ÷ 99 = 101,010,101

4. Проверка на простоту относительно друг друга: gcd(1,010,101, 101,010,101) = 1, следовательно дробь сократилась до несократимого вида.

Ответ: 1,010,101 : 101,010,101 (или без запятых: 1010101:101010101)