Кристина увлеклась алмазной вышивкой. Количество стразов, которое девочка приклеила за первые полчаса работы, равно 225. Определи вероятность того, что за следующие 30 минут…

Задача решается в рамках модели пуассоновского процесса: количество стразов, приклеиваемых за равные промежутки времени, распределено так, что за любое фиксированное время X следует распределение Пуассона, а за непересекающиеся промежутки время независимы.

Шаги решения

1. Определяем параметры по данным

• За первые 30 минут было приклеено 225 стразов.
• В пуассоновском процессе за фиксированное время число событий распределено по Пуассону с параметром μ = λt, где μ — среднее число за время t.
• Следующий 30-минутный интервал имеет ту же скорость, значит X2 ~ Пуассон(μ = 225).

2. Что нужно найти

• Вероятность того, что за следующие 30 минут приклеится не больше 325 стразов: P(X2 ≤ 325).

3. Выражение через распределение Пуассона

• Точное выражение: P(X2 ≤ 325) = Σ_{k=0}^{325} e^{-225} 225^k / k!.

4. Приближённое вычисление (нормальная аппроксимация Пуассона)

• Пуассоновское распределение с μ = 225 можно аппроксимировать нормальным: X2 ≈ N(μ = 225, σ^2 = 225), поэтому σ = sqrt(225) = 15.
• С непрерывной коррекцией: P(X2 ≤ 325) ≈ Φ((325.5 − 225) / 15) = Φ(100.5 / 15) = Φ(6.7).
• Значение Φ(6.7) очень близко к 1. Приближённо: вероятность ≈ 0.99999999999 (примерно 1 до многих знаков после запятой).

5. Вывод

• Вероятность того, что за следующие 30 минут Кристина приклеит не больше 325 стразов, примерно 0.99999999999, то есть практически равна 1.
• Более точно через Пуассон: P(X2 ≤ 325) = Σ_{k=0}^{325} e^{-225} 225^k / k!, что даёт ту же идею: вероятность очень близка к единице. Вероятность превысить 325 составляет примерно 10^-11.

Если нужно, могу привести более точное значение через вычисления точной суммы Пуассона или показать шаги вычисления с программой.