Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см². Найдите площадь первоначального…
Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см². Найдите площадь первоначального прямоугольника.
Цель: понять решение по шагам.
Пусть оригинальные стороны прямоугольника: длина L и ширина W.
По периметру 2(L + W) = 30 cm, значит L + W = 15. (1)
Обозначим площади:
- исходная площадь A = L · W
- новая площадь после изменений A' = (L − 3)(W + 5)
По условию A' = A − 8. Значит: (L − 3)(W + 5) = LW − 8
Раскроем левую часть: LW + 5L − 3W − 15 = LW − 8
Упростим, убрав LW: 5L − 3W − 15 = −8 → 5L − 3W = 7. (2)
- Решим систему (1) и (2): Из (1) W = 15 − L. Подставим в (2): 5L − 3(15 − L) = 7 5L − 45 + 3L = 7 8L = 52 → L = 6.5
Тогда W = 15 − 6.5 = 8.5
- Исходная площадь: A = L · W = 6.5 · 8.5 = 55.25 cm² (или 221/4 cm²).
Проверка: Новая длина = 6.5 − 3 = 3.5 cm, новая ширина = 8.5 + 5 = 13.5 cm. A' = 3.5 · 13.5 = 47.25 cm², разность A − A' = 55.25 − 47.25 = 8 cm², условие выполняется.
Ответ: исходная площадь прямоугольника равна 55.25 см² (или 221/4 см²).
