(х-1)*(х+1)>х²+4-(х-5)²

Задача: (x-1)(x+1) > x^2 + 4 - (x-5)^2 Цель: понять решение пошагово. Шаги решения - 1) Раскрываем скобки слева и справа. - (x-1)(x+1) = x^2 - 1 - (x-5)^2 = x^2 - 10x + 25 - Тогда правая часть: x^2 + 4 - (x-5)^2 = x^2 + 4 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - 21 - 2) Перепишем неравенство: x^2 - 1 > 10x - 21 - 3) Перенесём все в одну сторону: x^2 - 10x + 20 > 0 - 4) Решение квадратного неравенства можно получить двумя способами. Способ А: через разность квадратов - x^2 - 10x + 20 = (x - 5)^2 - 5 - Неравенство: (x - 5)^2 - 5 > 0 - Тогда (x - 5)^2 > 5, что эквивалентно |x - 5| > sqrt(5) - Решение: x < 5 - sqrt(5) или x > 5 + sqrt(5) Способ Б: через дискриминант - Дискриминант D = (-10)^2 - 4*1*20 = 100 - 80 = 20 - Корни: x = (10 ± sqrt(20)) / 2 = 5 ± sqrt(5) - Так как коэффициент перед x^2 положительный, неравенство выполняется вне промежутка между корнями: (-∞, 5 - sqrt(5)) ∪ (5 + sqrt(5), ∞) - 5) Приведём к удобному виду и дадим численные приближённые значения: sqrt(5) ≈ 2.236 следовательно: 5 - sqrt(5) ≈ 2.764, 5 + sqrt(5) ≈ 7.236 Ответ - Точки x удовлетворяющие неравенство: x < 5 - sqrt(5) или x > 5 + sqrt(5) - Приблизительно: x < 2.764 или x > 7.236 Пример проверки - Пусть x = 0: LHS = (0-1)(0+1) = -1, RHS = 0^2 + 4 - (0-5)^2 = 4 - 25 = -21; -1 > -21 верно (0 лежит в зоне x < 2.764). - Пусть x = 5: LHS = 4*6 = 24, RHS = 25 + 4 - 0 = 29; 24 > 29 неверно (5 лежит между корнями).