(х-1)*(х+1)>х²+4-(х-5)²

Задача: (x-1)(x+1) > x^2 + 4 - (x-5)^2

Цель: понять решение пошагово.

Шаги решения

• 1. Раскрываем скобки слева и справа.
  • (x-1)(x+1) = x^2 - 1
  • (x-5)^2 = x^2 - 10x + 25
  • Тогда правая часть: x^2 + 4 - (x-5)^2 = x^2 + 4 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - 21
• 2. Перепишем неравенство: x^2 - 1 > 10x - 21
• 3. Перенесём все в одну сторону: x^2 - 10x + 20 > 0
• 4. Решение квадратного неравенства можно получить двумя способами. Способ А: через разность квадратов
  • x^2 - 10x + 20 = (x - 5)^2 - 5
  • Неравенство: (x - 5)^2 - 5 > 0
  • Тогда (x - 5)^2 > 5, что эквивалентно |x - 5| > sqrt(5)
  • Решение: x < 5 - sqrt(5) или x > 5 + sqrt(5)

  Способ Б: через дискриминант

  • Дискриминант D = (-10)^2 - 4120 = 100 - 80 = 20
  • Корни: x = (10 ± sqrt(20)) / 2 = 5 ± sqrt(5)
  • Так как коэффициент перед x^2 положительный, неравенство выполняется вне промежутка между корнями: (-∞, 5 - sqrt(5)) ∪ (5 + sqrt(5), ∞)
• 5. Приведём к удобному виду и дадим численные приближённые значения: sqrt(5) ≈ 2.236 следовательно: 5 - sqrt(5) ≈ 2.764, 5 + sqrt(5) ≈ 7.236

Ответ

• Точки x удовлетворяющие неравенство: x < 5 - sqrt(5) или x > 5 + sqrt(5)
• Приблизительно: x < 2.764 или x > 7.236

Пример проверки

• Пусть x = 0: LHS = (0-1)(0+1) = -1, RHS = 0^2 + 4 - (0-5)^2 = 4 - 25 = -21; -1 > -21 верно (0 лежит в зоне x < 2.764).
• Пусть x = 5: LHS = 4*6 = 24, RHS = 25 + 4 - 0 = 29; 24 > 29 неверно (5 лежит между корнями).