Найдите такие положительные числа a, b и с, чтобы их произведение было наибольшим, если a + b = 27 и b : c = 2 : 7. В ответ запишите сумму этих чисел.

Задача: найти такие положительные a, b, c, чтобы их произведение максимизировалось при условиях a + b = 27 и b:c = 2:7. Нужно записать сумму этих чисел.

Пошаговое решение:

1. По условию b:c = 2:7, значит b/c = 2/7, отсюда c = (7/2) b.

2. Из условия a + b = 27 найдем a: a = 27 - b.

3. Произведение P = a · b · c = (27 - b) · b · (7/2) b = (7/2) · b^2 · (27 - b).

4. Чтобы максимизировать P, достаточно максимизировать f(b) = b^2 · (27 - b) на интервале 0 < b < 27. Производная: f'(b) = 2b(27 - b) + b^2(-1) = 54b - 3b^2 = 3b(18 - b). Критические точки: b = 0 и b = 18. В интервале максимум достигается в b = 18 (поскольку f''(18) = 54 - 6·18 = -54 < 0).

5. При b = 18:

   • a = 27 - 18 = 9
   • c = (7/2) · 18 = 63

6. Проверка: b:c = 18:63 = 2:7, все положительные, удовлетворяют условиям.

7. Сумма этих чисел: a + b + c = 9 + 18 + 63 = 90.

Ответ: 90.