Общим решением дифференциального уравнения x2y′+y2=0 является функция... Вопрос 1Выберите один ответ: 1y=C−1x y=Cx 1y=C+1x 1y=1C−1x2
Разбор по шагам
Дано уравнение x^2 y′ + y^2 = 0, где предполагаем x ≠ 0 (чтобы делить на x^2).
Перепишем уравнение в виде dy/dx = - (y^2) / (x^2).
Разделим переменные: dy / y^2 = - dx / x^2.
Проинтегрируем обе стороны: ∫ y^(-2) dy = ∫ - x^(-2) dx.
Левая часть: ∫ y^(-2) dy = -1/y + C1. Правая часть: ∫ - x^(-2) dx = x^(-1) + C2.
Следовательно, -1/y = 1/x + C, где C объединяет константы интегрирования.
Приведём к более удобному виду: 1/y = C' - 1/x, где C' = -C — произвольная константа.
Поиск явного вида функции: y = 1 / (C' - 1/x) = x / (C' x - 1).
Упрощенно: общий вид решения можно записать как 1/y = C - 1/x.
Также стоит упомянуть частное решение: y ≡ 0 удовлетворяет уравнению, но оно не входит в общий вид, получаемый из разделения переменных (как предел при C → ∞).
Ответ на задачу (правильный вариант): 1/y = C − 1/x.
