Задача Задача №3574622
А
А
В результате серии маневров искусственный спутник Земли перешел на более высокую круговую орбиту. Как при этом изменилась скорость движения спутника по орбите и его полная…
Запрос пользователя
В результате серии маневров искусственный спутник Земли перешел на более высокую круговую орбиту. Как при этом изменилась скорость движения спутника по орбите и его полная механическая энергия?
Кратко: на более высокую круговую орбиту скорость спутника уменьшается, а полная механическая энергия становится более «высокой» в смысле её величины: энергия становится менее отрицательной.
Детальное решение (объяснение по шагам)
- Скорость на круговой орбите
- Обозначим гравитационный параметр Земли μ = GMЗемли.
- Радиус круговой орбиты обозначим r.
- Скорость движения по круговой орбите: v = sqrt(μ / r).
- Если спутник перешел на более высокую орбиту: r2 > r1, значит v2 = sqrt(μ / r2) < sqrt(μ / r1) = v1. Таким образом, скорость уменьшилась.
- Полная механическая энергия на круговой орбите
- Частная (specific) энергия на круговой орбите: ε = v^2/2 − μ / r.
- Для кружной орбиты при скорости v^2 = μ / r имеем ε = (μ / r) / 2 − μ / r = − μ / (2 r).
- Тогда:
- ε1 = − μ / (2 r1)
- ε2 = − μ / (2 r2)
- Так как r2 > r1, получаем ε2 > ε1 (энергия стала менее отрицательной, то есть «выше» в энергетическом смысле).
- Изменение полной энергии
- Полная энергия тела E = m ε, где m — масса спутника.
- Изменение энергии на переходе с r1 на r2: Δε = ε2 − ε1 = μ/2 · (1/r1 − 1/r2) > 0.
- Значит, мощность (энергия) спутника увеличилась: E2 − E1 = m Δε > 0.
- Если разложить на компоненты: на более высокой орбите кинетическая энергия K = v^2/2 = μ/(2 r) уменьшается, потенциальная энергия U = −μ / r становится менее отрицательной (возрастает), а их сумма (полная энергия) увеличивается.
- Небольшой числовой пример (для наглядности)
- Пусть r1 = 7000 км, r2 = 8000 км, μ = 3.986×10^5 км^3/с^2.
- v1 = sqrt(μ / r1) ≈ sqrt(3.986e5 / 7000) ≈ 7.55 км/с.
- v2 = sqrt(μ / r2) ≈ sqrt(3.986e5 / 8000) ≈ 7.06 км/с.
- ε1 = −μ /(2 r1) ≈ −3.986e5 / (14000) ≈ −28.5 км^2/с^2.
- ε2 = −μ /(2 r2) ≈ −3.986e5 / (16000) ≈ −24.9 км^2/с^2.
- Δε ≈ 3.6 км^2/с^2, что для массы m даёт ΔE = m Δε. Например, при m = 1000 кг ΔE ≈ 3.6×10^9 Дж.
Итог:
- Скорость по орбите уменьшается при переходе на более высокую круговую орбиту: v2 < v1.
- Полная механическая энергия растет (менее отрицательна): ε2 > ε1, и E2 > E1.
- В разрезе энергий: K уменьшается, U увеличивается (становится ближе к нулю), суммарная энергия E увеличивается.
