докажите тождество (a-d)²=(b-a)²

Это не тождество для любых a, b и d. Оно верно только при дополнительных условиях. Докажем это и выпишем условия.

Решение

• Рассмотрим разность квадратов: (a − d)² − (b − a)² = [(a − d) − (b − a)] · [(a − d) + (b − a)]
• Посчитаем скобки: (a − d) − (b − a) = a − d − b + a = 2a − b − d (a − d) + (b − a) = a − d + b − a = b − d
• Значит: (a − d)² − (b − a)² = (2a − b − d) · (b − d)

Тождество (a − d)² = (b − a)² верно тогда, когда произведение равно нулю: (2a − b − d) · (b − d) = 0

Следовательно, существуют две возможности:

• b = d
• 2a − b − d = 0, то есть b = 2a − d

Итого: (a − d)² = (b − a)² не является общим тождеством; оно выполняется только при b = d или при b = 2a − d.

Примеры проверки:

• Пусть a = 3, d = 5. Тогда b = d = 5: (3−5)² = 4, (5−3)² = 4 — равны.
• Пусть a = 3, d = 5. Пусть b = 2a − d = 1: (3−5)² = 4, (1−3)² = 4 — равны.
• Чтобы увидеть неверность без условий: возьмём a = 1, d = 2, b = 1. Тогда (1−2)² = 1, (1−1)² = 0 — не равны.