сторона правильного треугольника равна 8 см Найдите площадь вписанного Круга

Задача: стороны равн. треугольника a = 8 см. Найти площадь вписанного круга (инкруга).

Пояснение:

• В равн. треугольнике инцентр совпадает с центроидом, и радиус вписанной окружности (инradius) можно найти по формуле r = a√3/6.
• Альтернативно можно использовать формулу площади треугольника S = r · s, где s — полупериметр. Для равн. треугольника s = 3a/2.

Расчёты:

1. Вычисляем радиус вписанной окружности: r = a√3/6 = 8√3/6 = 4√3/3 см.

2. Площадь вписанного круга: S_in = πr^2 = π(4√3/3)^2 = π · (16 · 3) / 9 = 16π/3 см². Приближённо: S_in ≈ 16.76 см².

Проверка (опционально):

• Площадь треугольника: S_triangle = (√3/4)a^2 = (√3/4)·64 = 16√3 см².
• Полупериметр: s = 3a/2 = 12 см.
• По формуле S_triangle = r·s: r = S_triangle / s = (16√3)/12 = 4√3/3 см, что совпадает с полученным значением.

Ответ:

• Радиус вписанной окружности: r = 4√3/3 см ≈ 2.31 см.
• Площадь вписанного круга: S_in = 16π/3 см² ≈ 16.76 см².