Боковые стороны прямоугольной AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь

Задача: у прямоугольной трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны соответственно 40 и 41. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции. Решение (пошагово): 1) Установим координатную систему. - Пусть AB — вертикальная боковая сторона длиной h = AB = 40. - Пусть AD и BC — параллельные горизонтальные основания. - Выберем A = (0, h), B = (0, 0). - Тогда D = (x_D, h) и C = (x_C, 0), причём AD = x_D и BC = x_C. - Длина боковой стороны CD равна 41: CD^2 = (x_C − x_D)^2 + (0 − h)^2. Подставляем h = 40: (x_C − x_D)^2 + 40^2 = 41^2 → (x_C − x_D)^2 = 1681 − 1600 = 81. Значения разности x: x_C − x_D = ±9. 2) Середина AB. Середина AB: M = ((0+0)/2, (h+0)/2) = (0, 20). 3) Условие биссектрисы угла ADC. - Вектор DA (от D к A): u = A − D = (−x_D, 0), длина |u| = x_D. - Вектор DC (от D к C): v = C − D = (x_C − x_D, −h) = (Δx, −40), где Δx = x_C − x_D и |v| = CD = 41. - Единичные векторы вдоль лучей DA и DC: u/|u| = (−1, 0), v/|v| = (Δx/41, −40/41). - Направление биссектрисы внутри угла задаётся суммой этих единичных векторов: s = u/|u| + v/|v| = (−1 + Δx/41, −40/41). - Направление ребра DM (от D к середине AB): DM = M − D = (0 − x_D, 20 − h) = (−x_D, −20). Условие параллности DM и вектора-бисиектора s даёт пропорцию: DM_x / DM_y = s_x / s_y. То есть (−x_D)/(−20) = (−1 + Δx/41) / (−40/41). Упростим: x_D/20 = [−1 + Δx/41] / [−40/41] = (41/40)·(1 − Δx/41) = (41/40) − (Δx/40). Зная, что Δx = ±9, получаем два решения: - Если Δx = +9 (то x_C − x_D = 9): x_D/20 = (41/40) − (9/40) = 32/40 = 4/5 → x_D = 16. Тогда x_C = x_D + Δx = 16 + 9 = 25. - Если Δx = −9 (то x_C − x_D = −9): x_D/20 = (41/40) − (−9/40) = 50/40 = 5/4 → x_D = 25. Тогда x_C = x_D + Δx = 25 − 9 = 16. В обоих случаях сумма оснований одинакова: AD + BC = x_D + x_C = 16 + 25 = 41. 4) Площадь трапеции. Высота трапеции равна AB = 40. Площадь трапеции S = (AD + BC) · h / 2 = (41) · 40 / 2 = 41 · 20 = 820. Ответ: площадь трапеции равна 820 единиц площади.