Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке O. Найдите AO:OC и BO:OD, если AB=a, DC=b

Пусть AB ∥ CD и AB = a, CD = b.

Решение методом координат:

• Положим трапецию так, чтобы AB лежала на оси y = 0, а CD на y = h > 0.
• Тогда можно выбрать координаты вершин: A(0, 0), B(a, 0), D(0, h), C(b, h). Лежат основания AB и CD соответственно, длины a и b.

Диагонали:

• AC: любая точка на диагонали AC задаётся параметром t ∈ [0,1] как A + t(C − A) = (tb, th).
• BD: любая точка на диагонали BD задаётся параметром s ∈ [0,1] как B + s(D − B) = (a − as, sh).

Точка пересечения O удовлетворяет равенству координат: tb = a − as и th = sh. Из второго уравнения, при h ≠ 0, имеем t = s.

Подставляя в первое: t b = a − a t ⇒ t(b + a) = a ⇒ t = a/(a + b).

Значит на диагонали AC отношение AO к OC равно t:(1 − t) = a/(a + b) : b/(a + b) = a : b. Следовательно AO/OC = a/b.

Аналогично на диагонали BD: BO/OD = s:(1 − s) = a:b.

Ответ:

• AO : OC = a : b
• BO : OD = a : b

Замечание: если a = b (основания равной длины), точки пересечения делят диагонали пополам: AO = OC и BO = OD.