Задача Задача №3577417
А
А
Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов
Дано: в треугольнике ABC медиана AM проведена к BC, и AM = BM, где M — середина BC.
По теореме Апполония для треугольника ABC с медианой AM к BC имеем: AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2).
Из условия AM = BM следует AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + AM^2) = 4AM^2.
Так как M — середина BC, BC = 2BM, значит BC^2 = 4BM^2. При AM = BM имеем BC^2 = 4AM^2.
Следовательно AB^2 + AC^2 = BC^2. Это равносильно тому, что угол A прямой: ∠A = 90° (конверсия теоремы Пифагора).
Так как сумма углов треугольника равна 180°, получаем ∠B + ∠C = 90°, а значит ∠A = ∠B + ∠C.
Итак, при условиях AM = BM один из углов треугольника ABC равен сумме двух других (точнее, угол A равен сумме углов B и C).
