4. В артели «Скверный путь» работает 56 человек и каждый – или умен, или трудолюбив, или начальник. Умных людей в артели 22, из них 9 – начальники. Трудолюбивых – 25, среди них 10 начальников, а из этих десяти – двое еще и умны. Шесть человек – и умны и трудолюбивы. Сколько в артели начальников?

Задача решается с помощью множеств: S — умные, H — трудолюбивые, B — начальники. Всего людей в артели 56. Даны: - |S| = 22, |S ∩ B| = 9, |S ∩ H| = 6, |S ∩ H ∩ B| = 2 - |H| = 25, |H ∩ B| = 10 - Каждый человек принадлежит хотя бы к одному из множеств, т.е. |S ∪ H ∪ B| = 56 По формуле включения-исключения для троек множеств: |S ∪ H ∪ B| = |S| + |H| + |B| - |S ∩ H| - |S ∩ B| - |H ∩ B| + |S ∩ H ∩ B| Подставим известное: 56 = 22 + 25 + |B| - 6 - 9 - 10 + 2 56 = |B| + 24 |B| = 56 - 24 = 32 Ответ: в артели 32 начальника. Дополнительная проверка (разложение по частям, по Венновой схеме): - S ∩ H ∩ B = 2 - S ∩ H (включая тройку) = 6 ⇒ S ∩ H только = 6 - 2 = 4 - S ∩ B (включая тройку) = 9 ⇒ S ∩ B только = 9 - 2 = 7 - H ∩ B (включая тройку) = 10 ⇒ H ∩ B только = 10 - 2 = 8 - S только: |S| = 22, осталось: 22 - (4 + 7 + 2) = 9 - H только: |H| = 25, осталось: 25 - (4 + 8 + 2) = 11 - B только: вселенная 56 минус сумма остальных частей: 56 - (9 + 11 + 4 + 7 + 8 + 2) = 15 Тогда |B| = B только + S∩B только + H∩B только + S∩H∩B = 15 + 7 + 8 + 2 = 32, что согласуется с ранее полученным результатом.