Дан ΔАВС, ВО – высота. Доказать: Δ АВО = ΔСВО. Найдите АВ, если угол А= 30°, ВО = 6

Дано: в треугольнике ABC высота BO (O лежит на AC). Нужно доказать, что ΔABO и ΔCBO равны по площади (ΔABO = ΔCBO), и найти AB, если ∠A = 30° и BO = 6.

Пошаговое решение

1. Заметим геометрию треугольников ABO и CBO

• Так как BO – высота к основанию AC, она перпендикулярна AC. Следовательно, AO и CO лежат на одной прямой AC, а BO ⟂ AO и BO ⟂ CO.
• Таким образом, углы AOB и COB оба равны 90°; оба треугольника ABO и CBO являются прямыми треугольниками.

2. Выразим площади через общую высоту BO

• Площадь ABO: [ABO] = (1/2) · AO · BO.
• Площадь CBO: [CBO] = (1/2) · OC · BO.

3. Используем данное условие равенства площадей

• По условию ΔABO = ΔCBO, значит [ABO] = [CBO].
• Так как BO общая высота для обеих оснований AO и OC, равенство площадей даёт AO = OC.
• Следовательно, O является серединой основания AC.

4. Следствие: BO – и медиана, и высота

• Так как O — середина AC, BO является медианой из вершины B к основанию AC.
• В треугольнике это означает AB = BC (в треугольнике, у которого высота совпадает с медианой, боковые стороны равны).

5. Используем заданный угол A

• Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный по бокам AB и BC. Следовательно, углы A и C равны: ∠A = ∠C = 30°. А значит ∠B = 180° − 30° − 30° = 120°.

6. Найдём AB через OB

• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Угол при A равен ∠BAO = ∠A = 30°, угол при O — 90°.
• Это классический 30–60–90 треугольник: против угла 30° лежит сторона OB, гипотенуза — AB.
• Соотношения сторон: OB = AB · sin 30° = AB/2.
• Дано OB = 6, значит AB = 2 · OB = 12.

Ответ: AB = 12.