ОГЭ по математике 2026 Новые задания из демоверсии 2026 Задание 16.1 Задание 16.2 1 Ответ: 2 Ответ: 3 Ответ: 4 Ответ: 5 Ответ: 6 Ответ: В окружность с центром в точке O вписан…

Ниже подробные решения по двум типам задач, которые встречаются в демоверсии ОГЭ 2026.

Задача 16.1. В окружности с центром O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно r. Найдите сторону треугольника.

Разбор и решение

• В равностороннем треугольнике центр окружности (O) является одновременно центром описанной и вписанной окружности: он совпадает с центром тяжести, и радиусы вписанной и описанной окружностей связаны.
• Обозначим сторону треугольника за a. Тогда для равностороннего треугольника:
  • Радиус описанной окружности ( circumradius ) R = a/√3.
  • Радиус вписанной окружности ( inradius ) r = a/(2√3).
  • Следовательно, R = 2r.
• Расстояние от центра O до любой стороны равностороннего треугольника равно r (это и есть радиус вписанной окружности).
• По отношению между стороной и радиусами имеем a = √3 · R = √3 · (2r) = 2√3 · r.

Итак, сторона треугольника: a = 2√3 · r.

Примеры вычислений (на основе данных r = дробь/целое число, встречающихся в задании):

• Если r = 5/3: a = 2√3 · (5/3) = (10√3)/3 ≈ 5.77.
• Если r = 2/3: a = 2√3 · (2/3) = (4√3)/3 ≈ 2.31.
• Если r = 4/3: a = 2√3 · (4/3) = (8√3)/3 ≈ 4.62.
• Если r = 3 (то есть r = 3/1): a = 2√3 · 3 = 6√3 ≈ 10.39.

Примечание: если в вашем конкретном варианте задано другое числовое значение r, используйте общую формулу a = 2√3 · r.

Задача 16.2. В прямоугольнике задан угол между стороной и диагональю; синус этого угла равен s. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен d. Найдите площадь прямоугольника.

Разбор и решение

• Пусть стороны прямоугольника равны a и b, диагональ имеет длину d. Для прямоугольника диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому d^2 = a^2 + b^2.
• Угол между одной из сторон (скажем стороной a) и диагональю имеет синус s. В треугольнике образованном стороной a, диагональю и второй стороной по величине противоположной этому углу, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: s = b/d. Отсюда b = s·d.
• Тогда a^2 = d^2 − b^2 = d^2 − (s^2 d^2) = d^2(1 − s^2), следовательно a = d·√(1 − s^2).
• Площадь S прямоугольника равна S = a·b = (d√(1 − s^2))·(s d) = s√(1 − s^2)·d^2.

Формула: S = s · √(1 − s^2) · d^2.

Примеры вычислений

• Пример 1: s = 0.6, d = 10.
  • √(1 − s^2) = √(1 − 0.36) = √0.64 = 0.8.
  • S = 0.6 · 0.8 · 10^2 = 0.48 · 100 = 48.
• Пример 2: s = 0.6, d = 5.
  • S = 0.6 · 0.8 · 5^2 = 0.48 · 25 = 12.
• Пример 3: s = 0.28, d = 25.
  • √(1 − s^2) = √(1 − 0.0784) = √0.9216 = 0.96.
  • S = 0.28 · 0.96 · 25^2 = 0.2688 · 625 = 168.

Для любых других данных (s, d) используйте формулу S = s√(1 − s^2) d^2.

Итого:

• 16.1: сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна a = 2√3 · r, где r — расстояние от O до стороны.
• 16.2: площадь прямоугольника при известном sin угла между стороной и диагональю s и диаметре окружности d равна S = s√(1 − s^2) d^2.

Если вы пришлёте конкретные числа r или пары (d, s), могу посчитать точные значения и привести подробные расчёты под ваш конкретный вариант.